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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Si l’on n’a égard qu’à l’action du Soleil, on a, par l’article I,

$\mathrm {R} =\mathrm {S} {\frac {x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} }{\mathrm {D} ^{3}}}-\mathrm {S} \left[\mathrm {D} ^{2}-2(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} )+r^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.$

En réduisant cette expression de $\mathrm {R}$ en série et en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{\mathrm {D} ^{4}}},$ on aura

$\mathrm {R={\frac {S}{2D^{3}}}} \left[r^{2}-3{\frac {(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} )}{\mathrm {D} ^{2}}}\right]-\mathrm {\frac {S}{D}} .$

Si l’on néglige les carrés des inclinaisons des orbites et qu’ainsi l’on suppose

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} =&\mathrm {D} \cos \Pi ,\qquad &\mathrm {Y} =&\mathrm {D} \sin \Pi ,\\x=&r\cos v,&y=&r\sin v,\end{alignedat}}$

on aura

$\mathrm {R} =-\mathrm {\frac {S}{D}} -{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{4\mathrm {D} ^{3}}}\left[1+3\cos 2(v-\Pi )\right],$

et l’équation différentielle (1) de l’article II deviendra

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)r\delta r}{r^{3}}}&-{\frac {\mathrm {S} }{2}}\int d\left[{\frac {r^{2}}{\mathrm {D} ^{3}}}+{\frac {3r^{2}}{\mathrm {D} ^{3}}}\cos 2(v-\Pi )\right]\\&-{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{2\mathrm {D} ^{3}}}\left[1+3\cos 2(v-\Pi )\right].\end{aligned}}$

Si, dans cette équation, on substitue au lieu de $\Pi$ la longitude moyenne du Soleil vu de Jupiter, et qui est égale à

$180^{\circ }+\mathrm {M} t+\mathrm {A} ,$

$\mathrm {M} t+\mathrm {A}$ étant la longitude moyenne de Jupiter ; si l’on substitue encore

$a\left[1+h\cos(nt+\varepsilon -ft-\Gamma )\right]$

au lieu de $r,$ et

$nt+\varepsilon -2h\sin(nt+\varepsilon -ft-\Gamma )$

au lieu de $v,$ on aura un terme dépendant de l’angle

$nt+\varepsilon -2\mathrm {M} t-2\mathrm {A} +ft+\Gamma ,$

et qui, acquérant, par l’intégration, un très petit diviseur, peut