364
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.
en négligeant donc les quantités de l’ordre
on aura
![{\displaystyle y^{2}=r^{2}\sin ^{2}v_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a4eb9beb4a00bfd9a3e0649e0d77fb69692426)
et, par conséquent,
![{\displaystyle (1-\rho )^{2}\left(\alpha ^{2}-r^{2}\sin ^{2}v_{1}\right)=\mathrm {Z} ^{2}+2\mathrm {Z} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial v}}\sin v_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42bc59e329ceea061f942fc4a56318fcb9a796f)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \sin v_{1}=-{\frac {\mathrm {Z} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial v}}}{(1-\rho )^{2}r^{2}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\alpha }{r}}+{\frac {\mathrm {Z} }{(1-\rho )r}}\right)\left({\frac {\alpha }{r}}-{\frac {\mathrm {Z} }{(1-\rho )r}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586915c253accbafd4b91e7f2e81e4f751a849de)
étant le sinus de la latitude du satellite au-dessus de l’orbite de Jupiter, à l’instant de la conjonction, on a
on aura donc
![{\displaystyle \sin v_{1}=-{\frac {s\delta s}{(1-\rho )^{2}\delta v}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\alpha }{r}}+{\frac {s}{1-\rho }}\right)\left({\frac {\alpha }{r}}-{\frac {s}{1-\rho }}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18ebec92838dc386f6d0dc24d6e009f6b503749)
Cette expression, prise avec le signe
indique le sinus de l’arc décrit par le satellite, en vertu de son mouvement synodique, depuis la conjonction jusqu’à l’émersion ; avec le signe
cette expression indique le sinus de ce même arc, depuis l’immersion jusqu’à la conjonction, pris négativement.
Soient
le temps que le satellite emploie à décrire la demi-largeur
du cône d’ombre, en vertu de son moyen mouvement synodique, et
le temps qu’il met à décrire l’angle
La vitesse angulaire étant
nous ferons
![{\displaystyle {\frac {dv}{ndt}}=1-\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39a59a9f57597b4bf5b13acad605fbae0f836f6)
étant une très petite quantité. De plus,
étant la moyenne distance du satellite de Jupiter,
est le sinus de l’angle sous lequel la demi largeur
serait vue à cette distance ; soit ϐ cet angle, on aura, à très peu près,
![{\displaystyle t={\frac {\mathrm {T} v_{1}}{\text{ϐ}}}(1+\mathrm {X} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511187c8bbd78ba1da29f9ac01e6d3b3981894eb)
Si l’on substitue dans cette expression, au lieu de
son sinus qui en