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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

en négligeant donc les quantités de l’ordre $\mathrm {Z} ^{2}\sin ^{2}v_{1},$ on aura

$y^{2}=r^{2}\sin ^{2}v_{1}$

et, par conséquent,

$(1-\rho )^{2}\left(\alpha ^{2}-r^{2}\sin ^{2}v_{1}\right)=\mathrm {Z} ^{2}+2\mathrm {Z} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial v}}\sin v_{1},$

d’où l’on tire

$\sin v_{1}=-{\frac {\mathrm {Z} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial v}}}{(1-\rho )^{2}r^{2}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\alpha }{r}}+{\frac {\mathrm {Z} }{(1-\rho )r}}\right)\left({\frac {\alpha }{r}}-{\frac {\mathrm {Z} }{(1-\rho )r}}\right)}}.$

$s$ étant le sinus de la latitude du satellite au-dessus de l’orbite de Jupiter, à l’instant de la conjonction, on a $\mathrm {Z} =rs\,;$ on aura donc

$\sin v_{1}=-{\frac {s\delta s}{(1-\rho )^{2}\delta v}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\alpha }{r}}+{\frac {s}{1-\rho }}\right)\left({\frac {\alpha }{r}}-{\frac {s}{1-\rho }}\right)}}.$

Cette expression, prise avec le signe $+,$ indique le sinus de l’arc décrit par le satellite, en vertu de son mouvement synodique, depuis la conjonction jusqu’à l’émersion ; avec le signe $-,$ cette expression indique le sinus de ce même arc, depuis l’immersion jusqu’à la conjonction, pris négativement.

Soient $\mathrm {T}$ le temps que le satellite emploie à décrire la demi-largeur $\alpha$ du cône d’ombre, en vertu de son moyen mouvement synodique, et $t$ le temps qu’il met à décrire l’angle $v_{1}.$ La vitesse angulaire étant ${\frac {dv}{dt}},$ nous ferons

${\frac {dv}{ndt}}=1-\mathrm {X} ,$

$\mathrm {X}$ étant une très petite quantité. De plus, $a$ étant la moyenne distance du satellite de Jupiter, ${\frac {\alpha }{a}}$ est le sinus de l’angle sous lequel la demi largeur $\alpha$ serait vue à cette distance ; soit ϐ cet angle, on aura, à très peu près,

$t={\frac {\mathrm {T} v_{1}}{\text{ϐ}}}(1+\mathrm {X} ).$

Si l’on substitue dans cette expression, au lieu de $v_{1},$ son sinus qui en