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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

se changent dans les précédentes et n’altèrent point les rapports établis ci-dessus.

La libration des satellites lie donc entre eux les mouvements, les époques et les inégalités séculaires des trois premiers satellites ; elle modifie encore d’une manière très sensible celles de leurs inégalités qui croissent avec une grande lenteur. Nous avons trouvé, dans l’article IX, que l’action du Soleil produit, dans l’expression de $v,$ le terme

${\frac {3\mathrm {M} }{n}}\mathrm {E} \sin(\mathrm {M} t+\mathrm {A-B} )\,;$

l’expression de ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}$ contient donc le terme

$-{\frac {3\mathrm {M} ^{3}}{n}}\mathrm {E} \sin(\mathrm {M} t+\mathrm {A-B} ).$

Les expressions de ${\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {d^{2}v''}{dt^{2}}}$ contiennent des termes semblables qui n’en diffèrent que par le diviseur $n$ qui se change successivement dans $n'$ et $n''\,;$ on aura ainsi, par l’article précédent, en n’ayant égard qu’à ces termes,

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=kn'^{2}\sin \varphi -3\mathrm {M^{3}E} \left({\frac {1}{n}}-{\frac {3}{n'}}+{\frac {2}{n''}}\right)\sin(\mathrm {M} t+\mathrm {A-B} ).$

Or on a, en vertu de l’équation $n-3n'+2n''=0,$

${\frac {1}{n}}-{\frac {3}{n'}}+{\frac {2}{n''}}={\frac {6(n'-n'')^{2}}{nn'n''}}\,;$

de plus, $n$ étant à fort peu près égal à $2n'$ et $n''$ étant à peu près égal à ${\frac {1}{2}}n',$ on a

${\frac {6(n'-n'')^{2}}{nn'n''}}={\frac {3}{2n'}}\,;$

en supposant donc $\varphi =180^{\circ }+\varpi$ et $\varpi$ très petit, on aura

${\frac {d^{2}\varpi }{dt^{2}}}+kn'^{2}\varpi =-{\frac {9\mathrm {M^{3}E} }{2n'}}\sin(\mathrm {M} t+\mathrm {A-B} ).$

Si l’on intègre cette équation, en faisant abstraction des constantes