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En faisant donc

${\begin{alignedat}{3}a-\mathrm {A} =&b,\quad &a_{1}-\mathrm {A} =&b_{1},\quad &a_{2}-\mathrm {A} =&b_{2},\quad &\ldots ,\\p-\mathrm {P} =&q,&p_{1}-\mathrm {P} =&q_{1},&p_{2}-\mathrm {P} =&q_{2},&\ldots ,\\\end{alignedat}}$

les équations (A) deviendront

${\begin{aligned}b\ \ -q\ \ y=&x,\\b_{1}-q_{1}y=&x_{1},\\b_{2}-q_{2}y=&x_{2},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}$

Formons les quotients ${\frac {b}{q}},{\frac {b_{1}}{q_{1}}},{\frac {b_{2}}{q_{2}}},\ldots ,$ et disposons-les suivant leur ordre de grandeur, en commençant par le plus grand ; les premiers membres des équations précédentes donneront une suite de cette forme, en écrivant les premiers ceux auxquels répondent les plus grands quotients, et en changeant le signe de ceux dans lesquels j’a un coefficient négatif,

(F)

$hy-c,\quad h_{1}y-c_{1},\quad h_{2}y-c_{2},\quad h_{3}y-c_{3},\quad \ldots .$

Cela posé, il est clair qu’en faisant $y$ infini, chacun des termes de cette suite devient infini ; mais ils diminuent en diminuant $y,$ et finissent par devenir négatifs : d’abord le premier, ensuite le second, et ainsi du reste. En diminuant toujours $y,$ les termes une fois parvenus à être négatifs continueront de l’être et diminueront sans cesse. Pour avoir la valeur de $y,$ qui rend la somme de ces termes pris tous avec le signe $+$ un minimum, on ajoutera les quantités $h,h_{1},h_{2},\ldots$ jusqu’à ce que leur somme commence à surpasser la moitié de la somme entière de toutes ces quantités. Ainsi, en nommant $\mathrm {F}$ cette somme, on déterminera $r,$ de sorte que

${\begin{aligned}h+h_{1}+h_{2}+\ldots +h_{r}\quad >&{\frac {1}{2}}\mathrm {F} ,\\h+h_{1}+h_{2}+\ldots +h_{r-1}<&{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \,;\end{aligned}}$

je dis qu’alors on aura

$y={\frac {c_{r}}{h}}.$