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Supposons $\rho >1\,;$ alors la quantité

(B)

$-{\frac {g}{l}}\int d\mu d\varpi \left[\mathrm {\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)Y_{1}^{2}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)Y_{2}^{2}} +\ldots \right]$

est négative ; la valeur de $\mathrm {M}$ doit donc être une quantité positive constamment plus grande, abstraction faite du signe, que cette quantité, puisque, $\gamma$ étant nécessairement positif, le premier membre de l’équation précédente est toujours positif. Cette valeur de $\mathrm {M}$ dépend de l’état et de la vitesse initiale de la mer, et, puisque nous la supposons très peu dérangée, à l’origine, de son état d’équilibre, $\mathrm {M}$ est nécessairement une très petite quantité. L’intégrale (B) sera donc toujours fort petite, ce qui exige que $\mathrm {Y_{1},Y_{2}} ,\ldots$ ne renferment point le temps $t$ sous la forme d’arcs de cercle ou d’exponentielles. La valeur de $y$ ne contient donc que des fonctions périodiques du temps, et par conséquent la mer ne s’éloigne jamais que très peu de sa figure d’équilibre, si sa densité est moindre que la moyenne densité de la Terre.

Quoique cette démonstration soit fort générale, elle suppose cependant que le fluide est ébranlé de manière que, relativement à toutes les molécules de la mer situées sur le même rayon mené du centre de gravité de la Terre à sa surface, les valeurs de $u$ et de $v$ sont à très peu près les mêmes, car les trois équations fondamentales du mouvement de la mer sont fondées sur cette supposition, la seule que l’on doive admettre lorsque l’on considère les ébranlements produits par l’action des astres ; mais, si l’ébranlement est produit par les vents ou par des tremblements de terre, cette supposition cesse d’avoir lieu, et cependant il importe encore d’avoir, dans ce cas, les conditions de la stabilité de la figure de la mer. On peut y parvenir fort simplement au moyen du principe de la conservation des forces vives.

Ce principe, appliqué au mouvement d’un système de corps qui s’attirent mutuellement, consiste en ce que la somme des molécules du système, multipliées respectivement par les carrés de leurs vitesses, est égale à une constante, plus au double de la somme des produits des molécules considérées deux à deux, divisés par la distance respective des molécules.