unes des arbitraires, on aura, comme dans l’article XIX,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mathrm {X'+\theta X''-Y} ,\\0=&\mathrm {Y'+\theta Y''+X''-2Z} ,\\0=&\mathrm {Z'\,+\theta Z''\,+Y''-3S} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd701f2d34702c353939612d25717b27853dcd9)
la valeur approchée de
donnera pareillement
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {X} _{1}}{\partial \theta }}=\mathrm {X} _{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {Y} _{1}}{\partial \theta }}=2\mathrm {Y} _{1},\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c45e509206b269e40ec54d66a2c496cd2ee17f1)
si les arbitraires ne multiplient point l’arc
sous les signes des sinus et des cosinus ; mais, si quelques-unes d’elles multiplient cet arc el que l’on suppose alors
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {X} _{1}}{\partial \theta }}=\mathrm {X} '_{1}+t\mathrm {X} ''_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {Y} _{1}}{\partial \theta }}=\mathrm {Y} '_{1}+t\mathrm {Y} ''_{1},\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8773472bbee4b8206fd90ea63f21476cd9a2df4)
on aura les équations
![{\displaystyle 0=\mathrm {X'_{1}+\theta X''_{1}-Y_{1}} ,\qquad 0=\mathrm {Y'_{1}+\theta Y''_{1}+X''_{1}-2Z_{1}} ,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33490d6830f6663cada527294a2d82770f45e96)
Les expressions des autres variables
fournissent des équations semblables. On déterminera par ces diverses équations, en choisissant les plus simples et les plus approchées, les valeurs de
en fonctions de
En substituant ensuite ces valeurs dans
et en y changeant
en
on aura les valeurs de
sans arcs de cercle, lorsque cela est possible.
XXI.
Sur les variations des inclinaisons et des nœuds des orbites
des planètes.
Soient
![{\displaystyle m,m',m'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d12ca1a15907e208484c9ab01992dae9509331)
les masses des différentes planètes, celle du Soleil élant prise pour l’unité ;
![{\displaystyle \varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346f36338c3a54a25f598ca88c2c0f3d1cdcbf4b)
les inclinaisons moyennes de leurs orbites sur un plan fixe qui passe par le centre du Soleil ;