72
MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES
ainsi, pour avoir les variations séculaires des moyens mouvements des trois satellites, il ne s’agit que de déterminer
ou, ce qui revient au même, le terme proportionnel au temps qui entre dans l’expression du demi grand axe a du premier satellite.
VI.
Si l’on ajoute ensemble les équations (1), (2) et (3) de l’article II, après avoir multiplié la première par
la seconde par
et la troisième par
et que, pour abréger, on suppose
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}+\mathrm {R} ={\frac {m''(xx''+yy''+zz'')}{r''^{3}}}-{\frac {\lambda }{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7af63e091cf4d0071d7693e8c2d426d114a395)
enfin, si l’on désigne par la caractéristique
les différences prises en ne faisant varier que les coordonnées relatives au satellite
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z}{dt^{2}}}+(1+m){\frac {dr}{r^{2}}}+\operatorname {d} \mathrm {R} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97d6382b57286592673db1acb485654ead36b23)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafb563d3d30a1939baf23793c5583550be0e5e3)
Si la différentielle
renferme un terme constant
l’intégrale
renfermera le terme
proportionnel au temps ; on aura donc après le temps
en négligeant les quantités périodiques de l’ordre ![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+kt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22360a73af079af3533283c02222882b2e0a7aa2)
mais, si l’on nomme
ce que devient le demi grand axe
après ce temps, on a
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a+\delta a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad04e1ba7c02fb582cdb4b4c4a2af19b1166a61)
partant
![{\displaystyle {\frac {1+m}{a+\delta a}}={\frac {1+m}{a}}+kt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b956b350c0a66a0b9247f3a2ca3fd8cf434b5d7)