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VII.

Reprenons maintenant les équations (H) de l’article précédent. La première donne, en l’intégrant et en observant que $\sum k'\sin(it+\varepsilon )$ est le développement de la fonction $\mathrm {P} ',$

$\theta =h+{\frac {\mathrm {B+C-2A} }{2n\mathrm {A} }}\int \mathrm {P} 'dt.$

Les seuls astres qui influent d’une manière sensible sur les mouvements de l’axe de la Terre sont le Soleil et la Lune. Considérons d’abord l’action du Soleil.

Soient

$v$ la longitude de cet astre, comptée sur son orbite, de l’équinoxe mobile du printemps ;

$\gamma$ l’inclinaison de l’orbite sur le plan fixe ;

$\Lambda$ la longitude de son nœud ascendant.

On aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&r'\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\cos v+r'\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\cos(v-2\Lambda ),\\\mathrm {Y} =&r'\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin v-r'\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin(v-2\Lambda ),\\\mathrm {Z} =&r'\sin \gamma \sin(v-\Lambda ),\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {XY} =&{\frac {r'^{2}}{2}}\cos ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2v+{\frac {r'^{2}\sin ^{2}\gamma }{4}}\sin 2\Lambda -{\frac {r'^{2}}{2}}\sin ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2v-4\Lambda ),\\\mathrm {XZ} =&{\frac {r'^{2}}{2}}\sin \gamma \cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2v-\Lambda )-{\frac {r'^{2}}{4}}\sin 2\gamma \sin \Lambda \\&+{\frac {r'^{2}}{2}}\sin \gamma \sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin(2v-3\Lambda )\,;\end{aligned}}$

on a, par la théorie du mouvement elliptique,

$r'^{2}dv=2a^{2}mdt{\sqrt {1-e^{2}}},$

$mt$ étant le moyen mouvement du Soleil, $a$ étant sa moyenne distance