Soient
le mouvement sidéral du second Soleil sur l’écliptique vraie ;
sera sa vitesse angulaire relativement à l’équinoxe réel ; mais on a
![{\displaystyle {\frac {d\psi '}{dt}}={\frac {d\psi }{dt}}-\cot \theta \sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54b8cff3bccb0cf2c9c94269008817e8c1a77d9)
cette vitesse est donc égale à
![{\displaystyle g+{\frac {d\psi }{dt}}-\cot \theta \sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303999d807c233ce72d60a1a6a47dc99e582891d)
Elle doit être égale à
on pourra donc, au moyen de cette égalité, déterminer
et l’on aura
![{\displaystyle k=g+(1-\cos \theta ){\frac {d\psi }{dt}}+{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925e7773f7ae466543d3c79d40c0b3abab40293e)
En substituant pour
et
leurs valeurs précédentes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}k=g&+l(1-\cos h)-\sin h\sum {\frac {l^{2}c}{f}}\cos(ft+{\text{ϐ}})\\&+(1-\cos h)\sum \left\{\left[\left({\frac {l^{2}}{f}}-l\right)\operatorname {tang} h+l\cot h\right]c\cos(ft+{\text{ϐ}})\right\}\\&+{\frac {1-\cos h}{\sin h}}\sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb07a316bf8c42be710bed896fc73f0e993cdcee)
La partie constante de
est
ainsi, dans la rigueur, le jour moyen est formé par un quatrième Soleil mû constamment dans l’équateur avec la vitesse
mais ce Soleil ne passerait pas par l’équinoxe réel en même temps que le second Soleil. En intégrant les termes variables de l’expression de
on aura, pour l’équation des jours moyens,
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&\sin h\sum {\frac {l^{2}c}{f^{2}}}\sin(ft+{\text{ϐ}})\\&+(1-\cos h)\sum \left[\left({\frac {l^{2}}{f^{2}}}-{\frac {l}{f}}\right)\operatorname {tang} h+{\frac {l}{f}}\cot h\right]c\sin(ft+{\text{ϐ}})\\&+{\frac {1-\cos h}{\sin h}}\sum c\cos(ft+{\text{ϐ}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9383a109a51cfc94cf5ddd864f96fef128030cf6)