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l’astre $\mathrm {L} \,;$ $\Pi$ son ascension droite, et $r'$ sa distance au centre de gravité de la Terre. Soit

$f={\frac {3\mathrm {L} }{2r'^{3}}}[\cos \theta \cos \nu +\sin \theta \sin \nu \cos(\Pi -\varphi -\varpi )]^{2}\,;$

on aura les trois équations suivantes (Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1776, p. 178) ^[1] :

(I)

$\left\{{\begin{aligned}y&={\frac {\partial (\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial (\gamma v)}{\partial \varpi }},\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-2n{\frac {\partial v}{\partial t}}\mu &{\sqrt {1-\mu ^{2}}}=\quad \left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}-{\frac {\partial f}{\partial \mu }}\right){\sqrt {1-\mu ^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}+2n{\frac {\partial u}{\partial t}}\ \ &{\frac {\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}=-{\frac {\left(g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \varpi }}\right)}{1-\mu ^{2}}}+{\frac {\cfrac {\partial f}{\partial \varpi }}{1-\mu ^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on ne considère que les termes dépendants d’angles croissants avec une extrême lenteur ou indépendants de $\varphi ,$ il est visible que la partie de $f$ relative à ces angles est indépendante de $\varpi \,;$ les parties de $y$ et de $\mathrm {U}$ relatives aux mêmes angles sont donc elles-mêmes indépendantes de $\varpi \,;$ en sorte que, en ne considérant que ces termes, on aura

${\frac {\partial f}{\partial \varpi }}=0;\qquad {\frac {\partial y}{\partial \varpi }}=0;\qquad {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \varpi }}=0$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=0,\\&{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}\sin \varphi -{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}\cos \varphi =-\operatorname {S} \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}\right),\\&{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}\cos \varphi +{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}\sin \varphi =-\operatorname {S} \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \mu }}\right).\end{aligned}}$

[Voir sur cela les Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1775 ^[2].]

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 188.
2. Œuvres de Laplace, T. IX.