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en intégrant depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ on a

$\operatorname {S} \mu d\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\frac {\partial \left(\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}=-\operatorname {S} \gamma ud\mu \left(1-2\mu ^{2}\right)\,;$

on a pareillement, en intégrant depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi ,$

$\operatorname {S} d\varpi \sin(\varphi +\varpi ){\frac {\partial \gamma v}{\partial \varpi }}=-\operatorname {S} \gamma vd\varpi \cos(\varphi +\varpi ),$

partant

${\begin{aligned}&\operatorname {S} \alpha n^{2}yd\mu d\varpi \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\\=-&\operatorname {S} \alpha n^{2}\gamma ud\mu d\varpi \left(1-2\mu ^{2}\right)\sin(\varphi +\varpi )\\+&\operatorname {S} \alpha n^{2}\gamma vd\mu d\varpi \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi ).\end{aligned}}$

On peut supposer $\gamma u$ développé dans une suite de termes de la forme

$\mathrm {M} \sin(it+s\varpi +\varepsilon ),$

$\mathrm {M}$ étant fonction de $\mu$ seul et $s$ étant un nombre entier positif ou négatif, les nombres fractionnaires étant exclus, parce que $\gamma u$ est le même lorsque $\varpi =0$ et lorsque $\varpi =2\pi .$ Pareillement, $\gamma v$ peut être supposé développé dans une suite correspondante de termes de la forme

$\mathrm {O} \cos(it+s\varpi +\varepsilon ),$

$\mathrm {O}$ étant fonction de $\mu$ seul. Soient $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {O} '$ les valeurs de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {O}$ relatives au même arc $it$ et qui correspondent à $s=1\,;$ on aura, en considérant l’ensemble des termes dépendants de $it,$

${\begin{aligned}\operatorname {S} \alpha &n^{2}yd\mu d\varpi \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\\&=-\alpha n^{2}\pi \operatorname {S} d\mu \cos(it+\varepsilon -\varphi )\left[\left(1-2\mu ^{2}\right)\mathrm {M} '-\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\mathrm {O} '\right].\end{aligned}}$

Si l’on multiplie la seconde des équations (I) par

$\alpha \gamma d\mu d\varpi \sin(\varphi +\varpi ),$

et qu’on l’ajoute à la troisième, multipliée par

$\alpha \gamma d\mu d\varpi \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi ),$