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aura ainsi le terme $-{\frac {3\mathrm {S} u'^{3}{\frac {du}{dv}}}{2u^{4}}}\sin(2v-2v')$ égal au produit de $-{\frac {3\mathrm {S} a^{3}}{4a'^{3}}}$ par la quantité

${\begin{aligned}&\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)e\cos(2v-2mv-cv+\varpi )\\&\quad \ -{\frac {7}{2}}ee'\cos(2v-2mv-cv-c'mv+\varpi +\varpi ')\\&\quad \ +{\frac {1}{2}}ee'\cos(2v-2mv-cv+c'mv+\varpi -\varpi ')\\&\quad \ +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

La variation de ce terme, due aux forces perturbatrices, est, à très peu près,

$-{\frac {3\mathrm {S} u'^{3}{\frac {d\delta u}{dv}}}{2u^{4}}}\sin(2v-2v')+{\frac {6\mathrm {S} u'^{3}\delta u{\frac {du}{dv}}}{u^{4}}}\sin(2v-2v')\,;$

elle produit le terme

${\begin{aligned}-{\frac {3\mathrm {S} a^{3}}{4a'^{3}}}&\left\{\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)\left[(2-2m-c)\mathrm {Q} ^{(2)}+8(1-m)\mathrm {Q} ^{(1)}\right]\right.\\&\ \ \left.+{\frac {1}{2}}(2-m-c)e'^{2}\mathrm {Q} ^{(6)}-{\frac {7}{2}}(2-3m-c)e'^{2}\mathrm {Q} ^{(7)}\right\}e\cos(cv-\varpi ).\end{aligned}}$

VI.

Considérons enfin le terme $2\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{3}}}$ ou $-3\mathrm {S} \int {\frac {u'^{3}dv}{u^{4}}}\sin(2v-2v').$ Ce terme développé devient

${\begin{aligned}{\frac {3\mathrm {S} a^{4}}{a'^{3}}}&\left[{\frac {1-{\frac {5}{2}}e'^{2}}{2-2m}}\cos(2v-2mv)\right.\\&\ \ +{\frac {2(1+m)\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)}{2-2m-c}}e\cos(2v-2mv-cv+\varpi )\\&\ \ +{\frac {(2+m)ee'}{2(2-m-c)}}\ \ \cos(2v-2mv-cv+c'mv+\varpi -\varpi ')\\&\ \ -{\frac {(2+3m)7ee'}{2(2-3m-c)}}\cos(2v-2mv-cv-c'mv+\varpi +\varpi ')\\&\ \ +\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$

La variation de ce terme, que l’on obtient, à fort peu près, en y substituant $u+\delta u$ au lieu de $u,$ produit le terme

$-{\frac {6\mathrm {S} a^{4}}{a'^{3}}}\left[\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)\mathrm {Q} ^{(2)}+{\frac {1}{2}}e'^{2}\mathrm {Q} ^{(6)}-{\frac {7}{2}}e'^{2}\mathrm {Q} ^{(7)}\right]e\cos(cv-\varpi ).$