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quantité qui, à raison de la petitesse de $r,$ relativement à $r',$ se réduit à

$\mathrm {Q} ={\frac {m'}{r'}}-{\frac {1}{2}}{\frac {m'r^{2}\left(1+s^{2}\right)}{r'^{3}}}+{\frac {3}{2}}m'{\frac {(xx'+yy'+zz')^{2}}{r'^{5}}}\,;$

on aura donc, en observant que $z$ est à très peu près égal à $rs,$ et en négligeant les termes de l’ordre de ${\frac {m'r^{2}s}{r'^{3}}},$

$-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}=-{\frac {3m'r^{2}z'}{r'^{5}}}(xx'+yy'+zz').$

Si l’on conçoit que l’axe des $x$ soit la ligne menée du centre de Saturne au nœud de l’anneau sur l’orbite, et que l’on nomme $\lambda$ l’inclinaison du plan fixe à l’orbite de Saturne, on aura, en désignant par $x''$ et $y''$ les coordonnées du Soleil rapportées au plan de l’orbite de Saturne,

$x'=x'',\qquad y'=y''\cos \lambda ,\qquad z'=-y''\sin \lambda .$

Si l’on nomme $v'$ le mouvement du Soleil vu de Saturne, et rapporté à l’orbite de cette planète, on aura

$x''=r'\cos v',\qquad y''=r'\sin v'\,;$

on a, de plus,

$x=r\cos v,\qquad y=\sin v,\qquad z=rs.$

En ne conservant donc dans le développement de la fonction

$-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}$

que les termes dépendants du sinus ou du cosinus de l’angle $v,$ et qui peuvent seuls produire, par l’intégration, des arcs de cercle dans l’expression de $s,$ on aura, par l’action de $m'$

$-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}={\frac {3m'r^{3}}{2r'^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda \sin v.$

Déterminons présentement la valeur de $-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}},$ relative à l’action de Saturne.

Soit $\mathrm {V}$ la somme des molécules de Saturne divisées par leurs di-