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c’est-à-dire que l’aire de la courbe, comprise depuis $z$ nul jusqu’à l’abscisse qu’il faut choisir, est égale à l’aire comprise depuis $z$ égal à cette abscisse jusqu’à la dernière valeur de $z\,;$ l’ordonnée correspondante à l’abscisse qu’il faut choisir divise donc l’aire de la courbe des probabilités en deux parties égales. [Voir les Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1778, page 824 ^[1].]

Daniel Bernoulli, ensuite Euler et M. Gauss ont pris pour cette ordonnée la plus grande de toutes. Leur résultat coïncide avec le précédent lorsque cette plus grande ordonnée divise l’aire de la courbe en deux parties égales, ce qui, comme on va le voir, a lieu dans la question présente ; mais, dans le cas général, il me paraît que la manière dont je viens d’envisager la chose résulte de la théorie même des probabilités.

Dans le cas présent, on a, en faisant $x=\mathrm {X} +z,$

$y=pp'p''\ldots e^{-p^{2}\pi (\mathrm {X} +z)^{2}-p'^{2}\pi (q-\mathrm {X} -z)^{2}-p''^{2}\pi (q'-\mathrm {X} -z)^{2}-\ldots },$

$p$ étant égal à ${\frac {a{\sqrt {n}}}{\sqrt {\pi }}},$ et par conséquent exprimant la plus grande probabilité du résultat donné par les observations $n',$ $p'$ exprime pareillement la plus grande ordonnée relative aux observations $n',$ et ainsi du reste ; $r$ pouvant, sans erreur sensible, s’étendre depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty ,$ comme on l’a vu dans l’article VII du Mémoire cité, on peut prendre $z$ dans les mêmes limites, et alors si l’on choisit $\mathrm {X}$ de manière que la première puissance de $z$ disparaisse de l’exposant de $e,$ l’ordonnée $y$ correspondante à $z$ nul divisera l’aire de la courbe en deux parties égales, et sera en même temps la plus grande ordonnée. En effet, on a, dans ce cas,

$\mathrm {X} ={\frac {p'^{2}q+p''^{2}q'+\ldots }{p^{2}+p'^{2}+p''^{2}+\ldots }},$

et alors $y$ prend cette forme

$y=pp'p''\ldots e^{\mathrm {-M-N} z^{2}}\,;$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 478.