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l’équation aux différences partielles en $\mathrm {U}$ devient ainsi

$\int e^{-\mu t}{\frac {\partial \varphi }{\partial r'}}dt=2e^{-\mu t}t\varphi +\int e^{-\mu t}dt\left(t^{2}\varphi -2t{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right).$

En égalant entre eux les termes affectés du signe $\int ,$ conformément à la méthode que j’ai donnée dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1782 ^[1], on aura l’équation aux différences partielles

${\frac {\partial \varphi }{\partial r'}}=t^{2}\varphi -2t{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},$

et le terme hors du signe $\int ,$ égalé à zéro, donnera, pour l’équation aux limites de l’intégrale,

$0=t\varphi e^{-\mu t}.$

L’intégrale de l’équation précédente aux différences partielles est

$\varphi =e^{{\frac {1}{4}}t^{2}}\psi \left({\frac {t}{e^{2r'}}}\right),$

$\psi \left({\frac {t}{e^{2r'}}}\right)$ étant une fonction arbitraire de ${\frac {t}{e^{2r'}}}\,;$ on a donc

$\mathrm {U} =\int dte^{-\mu t+{\frac {1}{4}}t^{2}}\psi \left({\frac {t}{e^{2r'}}}\right).$

Soit

$t=2\mu +2s{\sqrt {-1}}\,;$

l’équation précédente prendra cette forme

(A)

$\mathrm {U} =e^{-\mu ^{2}}\int dse^{-s^{2}}\Gamma \left({\frac {s-\mu {\sqrt {-1}}}{e^{2r'}}}\right).$

Il est aisé de voir que l’équation aux limites de l’intégrale, donnée ci-dessus, exige que les limites de l’intégrale relative à $s$ soient prises depuis $s=-\infty$ jusqu’à $s=\infty .$ En prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ avec le signe $-,$ on aurait pour $\mathrm {U}$ une expression de cette forme

$\mathrm {U} =e^{-\mu ^{2}}\int dse^{-s^{2}}\Pi \left({\frac {s+\mu {\sqrt {-1}}}{e^{2r'}}}\right),$

1. Œuvres de Laplace, T. X.