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suivant les puissances de ${\frac {1}{r}},$ à une série convergente et finie, à cause du diviseur ${\frac {1}{\left(i+{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2i\pi }}}}.$ Or $\mathrm {P} ^{(i)}$ étant le coefficient de ${\frac {1}{r^{i}+1}}$ dans ce développement, on a, par le n^o 15 du Livre III de la Mécanique céleste,

$\mathrm {P} ^{(i)}=2\left[{\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\right]^{2}$

$\qquad \times \sum \left\{{\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-n+1)}{(i+1)(i+2)\ldots (i+n)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right.$

$\times \left[\mu ^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{i-n-2}+\ldots \right]$

$\left.\times \left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left[\mu ^{'i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{'i-n-2}+\ldots \right]\cos n(\omega '-\omega )\right\},$

le signe $\sum$ comprenant toutes les valeurs de la fonction qu’il enveloppe, depuis $n=0$ jusqu’à $n=i.$ Dans le cas de $n=0,$ il ne faut prendre que la moitié de cette fonction. La première approximation nous a donné $y'$ sous cette forme

$\mathrm {Y^{'(0)}+Y^{'(1)}+Y^{'(2)}} +\ldots \,;$

en la prenant négativement et en y changeant $\mu$ en $\mu ',$ on aura la valeur de $y_{1},$ qui, substituée dans l’intégrale

$\int {\frac {\alpha y_{1}d\mu 'd\omega '}{\sqrt {r^{2}-2r\lambda +1}}},$

développée par rapport aux puissances de ${\frac {1}{r}},$ donne, par une série fort convergente, cette intégrale, et par conséquent la valeur de $\mathrm {V} ''.$ On aura ainsi, au moyen de l’équation (4), une seconde approximation de $\alpha y',$ et, au moyen de l’équation (6), une seconde approximation de la pesanteur $p.$ Ces approximations seront suffisantes, vu le peu de densité de la mer et son peu de profondeur, comme on le verra bientôt.

III. Considérons présentement les phénomènes de la pesanteur et de la variation des degrés à la surface des continents ou du sphéroïde terrestre. Ces phénomènes sont, en effet, les seuls de ce genre que nous puissions observer. Pour en avoir l’expression analytique, imaginons une atmosphère infiniment rare, très peu élevée, mais qui