l’action des astres n’était point accrue par la rapidité de leur mouvement. Mais on a vu précédemment que cette augmentation, que nous avons désignée par
est
environ pour la Lune, d’où il suit que l’on a, à fort peu près, en supposant, comme nous l’avons fait, l’accroissement proportionnel au mouvement de l’astre dans son orbite,
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'h'=&a'h+{\frac {l}{2m'}}xa'h,\\a'h''=&a'h-{\frac {l}{2m'}}xa'h,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8ed54214a75b9e8b57ac8c2c5ef726fe388c86)
et qu’ainsi les trois termes
![{\displaystyle a'+a'h'-a'h''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132efbdb20f90f5f2cb6a2e24ea2be1b699b22b8)
se réduisent à
![{\displaystyle a'+{\frac {l}{m'}}xa'h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d837d6a2efec807bb399ca9d138b18cbef78f5)
Le second terme de cette quantité peut être négligé, sans erreur sensible, relativement à l’argument de la variation.
Les trois termes précédents produisent encore, dans l’expression de la hauteur de la marée, la quantité
![{\displaystyle -2\left({\frac {s\pi }{n}}\right)^{2}\left[a'(p'-m')^{2}+a'h'\left(p'-m'-{\frac {l}{2}}\right)^{2}-a'h''\left(p'-m'+{\frac {l}{2}}\right)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074a293497c47a211ae83a1aca2620b1d0b63e4f)
elle se réduit, à très peu près, à
![{\displaystyle -2\left({\frac {s\pi }{n}}\right)^{2}\left\{a'(p'-m'-hl)^{2}+x{\frac {l}{m'}}a'h\left[(p'-m')^{2}+{\frac {l^{2}}{4}}\right]^{2}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e63d0bb746e71e12396d2495c5926ccd66a3a37)
Ce dernier terme peut être négligé sans erreur sensible. D’ailleurs,
est l’accroissement de la vitesse angulaire de la Lune, en vertu de l’argument
Il suffit donc, pour avoir égard à cet argument, de prendre pour
la vitesse angulaire de la Lune au moment de la syzygie.
La valeur de
est
![{\displaystyle {\frac {am+a'm'+a''m''+\ldots }{b+a+a'+a''+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bb63645f266c1c32ac2b6b8dc21b2f0178b32f)