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Il est facile de voir que ce sera aussi l’expression du terme qui précède $p$ du même intervalle $t.$ La somme de la série $(m)$ sera donc, à très peu près,

$p\int dtc^{-{\frac {(i+2r)t^{2}}{2r(i+r)}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ ce qui donne cette somme égale à

$p{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {\frac {r(i+r)}{(i+2r)}}}.$

Si, dans l’expression précédente de $p,$ on substitue, au lieu du produit

$1.2.3\ldots r(i+1)(i+2)\ldots (i+r)$

sa valeur très approchée

${\frac {\left[r(i+r)\right]^{r}(i+r)^{i}2\pi c^{-i-2r}{\sqrt {r(i+r)}}}{1.2.3\ldots i}},$

on aura

$p={\frac {1.2.3\ldots i(i+2r)c^{i+2r}}{2\pi {\sqrt {r(i+r)}}(i+r)^{i}}}\,;$

ce qui, en observant que $i+2r$ est égal à $i{\sqrt {1+e^{2}}},$ et que $i+r$ est égal à,

${\frac {i{\sqrt {1+e^{2}}}+i}{2}},$

donne, pour la somme de la série $(m),$

${\frac {1.2.3\ldots i\left(1+e^{2}\right)^{2}2^{i}c^{i{\sqrt {1+e^{2}}}}{\sqrt {i}}}{{\sqrt {2\pi }}i^{i}\left({\sqrt {1+e^{2}}}+1\right)^{i}}}.$

En changeant $e^{2}$ dans $-e^{2}$ dans cette expression, on aura la valeur fort approchée de la série

$i-{\frac {i+2}{1(i+l)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {(i+4)\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}}{1.2(i+1)(i+2)}}-{\frac {(i+6)\left({\frac {ei}{2}}\right)^{6}}{1.2.3(i+1)(i+2)(i+3)}}+\ldots .$

Ces passages du positif au négatif, comme du réel à l’imaginaire, ne doivent être employés qu’avec une grande circonspection. Mais ici, $e^{2}$