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cule à la verticale qui passe par l’extrémité supérieure du lil. La somme des forces détruites dans la molécule, et multipliées respectivement par les éléments de leurs directions, sera donc

$\left[(a-r){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right]dm'\left[(a-r)\delta \varphi +\delta x\right].$

En faisant $dm'=\rho ds$ et désignant par le signe $\mathrm {S}$ une intégrale étendue à toutes les molécules du fil, la somme des forces détruites dans le fil entier, et multipliées par les éléments de leurs directions, sera

${\begin{aligned}&-(a-r)^{2}m'\delta \varphi {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-(a-r)\delta \varphi \mathrm {S} \rho ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\\&-(a-r){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\mathrm {S} \rho ds\delta x-\mathrm {S} \rho ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x.\end{aligned}}$

Les molécules du fil pouvant osciller les unes autour des autres, il faut considérer séparément chacune de ces oscillations. Pour cela, je nomme $\psi ^{(i)}$ l’angle que l’élément $ds,$ placé à la distance $s$ ou $ids$ de l’origine du fil, fait avec la verticale. On aura $dx=\psi ^{(i)}ds,$ $\psi ^{(i)}$ étant supposé fort petit. On aura donc $x=\int \psi ^{(i)}ds\,;$ ce qui donne, en n’ayant égard qu’à la variation $\delta \psi ^{(i)},$

$S\delta x=(h-s)\delta \psi ^{(i)}\,;$

car $\psi ^{(i)}$ ne commence à s’introduire, dans la valeur de $x,$ qu’à la distance $s$ de l’origine du fil, et il entre dans toutes les valeurs de $x,$ depuis $s=s$ jusqu’à $s=h.$ On voit de la même manière que

$\int {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x=\delta \psi ^{(i)}\int ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$

l’intégrale étant prise depuis $s=s$ jusqu’à $s=h.$ La somme précédente devient ainsi

${\begin{aligned}&-(a-r)^{2}m'\delta \varphi {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-(a-r)\delta \varphi \mathrm {S} \rho ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\\&-\sum \delta \psi ^{(i)}ds\left[(a-r)\rho (h-s){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+\int \rho ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right],\end{aligned}}$