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On voit donc que si le centre d’oscillation de la troisième partie de l’appareil coïncidait avec son centre de gravité et si la masse du fil était infiniment petite, ce qui fait disparaître $i$ et $q-\mathrm {L} ,$ l’appareil oscillerait à très peu près comme si toutes ses parties étaient fixes. Voyons la différence qui résulte de leur mobilité respective dans la valeur de ${\frac {g}{n^{2}}}.$

On a par le n^o 1, dans le cas où tout l’appareil est fixe,

${\overline {m}}l_{1}{\frac {g}{n^{2}}}=\int z^{2}d{\overline {m}}-2{\overline {m}}l_{1}r,$

${\overline {m}}$ étant la masse de tout l’appareil, $l_{1}$ étant la distance de son centre de gravité à l’axe du cylindre formant le tranchant du couteau, et l’intégrale $\int z^{2}d{\overline {m}}$ se rapportant à l’appareil entier. On a par le n^o I, relativement à la première partie de l’appareil,

$\int z^{2}d{\overline {m}}=2mlr+{\frac {g}{n^{2}}}ml.$

Ensuite, on a relativement au fil

$\int z^{2}d{\overline {m}}=m'\left({\frac {1}{3}}h^{2}+ah+a^{2}\right),$

et relativement à la troisième partie de l’appareil, on a

$\int z^{2}d{\overline {m}}=\mathrm {M} \left[(h+a+\mathrm {L} )^{2}+\mathrm {L} (q-\mathrm {L} )\right].$

On a enfin

${\begin{aligned}{\overline {m}}=&m+m'+\mathrm {M} ,\\{\overline {m}}l_{1}=&ml+m'\left({\frac {1}{2}}h+a\right)+\mathrm {M} (h+a+\mathrm {L} ).\end{aligned}}$

On aura donc

$\left[ml+m'\left({\frac {1}{2}}h+a\right)+\mathrm {M} (h+a+\mathrm {L} )\right]{\frac {g}{n^{2}}}$

${\begin{aligned}=&2mlr+{\frac {g}{n^{2}}}ml+m'\left({\frac {1}{3}}h^{2}+ah+a^{2}\right)\\&+\mathrm {M} \left[(h+a+\mathrm {L} )^{2}+\mathrm {L} (q-\mathrm {L} )\right]\\&-2r\left[ml+m'\left({\frac {1}{2}}h+a\right)+\mathrm {M} (h+a+\mathrm {L} )\right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {ia^{2}}{h}}$ et ${\frac {iL(q-L)}{h}},$ et