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j’ai fondé, dans le n^o 12 du Livre cinquième de la Mécanique céleste, la démonstration de ce théorème.

Considérons la Terre et la Lune comme formant un système. Si l’on prend son centre de gravité pour origine des coordonnées ; si l’on nomme $\mathrm {X,Y,Z}$ les coordonnées du centre de gravité de la Terre, $x_{1},y_{1},z_{1}$ celles d’une quelconque de ses molécules $dm\,;$ $x,y,z$ les coordonnées de la Lune et $\mathrm {T}$ la masse de la Terre, on aura

${\begin{aligned}c=&\int dm{\frac {x_{1}dy_{1}-y_{1}dx_{1}}{dt}}+\mathrm {L} {\frac {xdy-ydx}{dt}}\\=&\int dm{\frac {\left(x_{1}-\mathrm {X} \right)\left(dy_{1}-d\mathrm {Y} \right)-\left(y_{1}-\mathrm {Y} \right)\left(dx_{1}-d\mathrm {X} \right)}{dt}}\\&+\mathrm {L} {\frac {\left(x-\mathrm {X} \right)\left(dy-d\mathrm {Y} \right)-\left(y-\mathrm {Y} \right)\left(dx-d\mathrm {X} \right)}{dt}}\\&-(\mathrm {T+L} ){\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} }{dt}}\,;\end{aligned}}$

car on a, par la propriété du centre de gravité du système,

${\begin{alignedat}{2}\int x_{1}dm+\mathrm {L} x=&0,\qquad &\int dm{\frac {dx_{1}}{dt}}+\mathrm {L} {\frac {dx}{dt}}=&0,\\\int y_{1}dm+\mathrm {L} y=&0,&\int dm{\frac {dy_{1}}{dt}}+\mathrm {L} {\frac {dy}{dt}}=&0,\end{alignedat}}$

$n$ étant la vitesse de rotation de la Terre et $\mathrm {C}$ désignant la somme des produits des molécules terrestres par le carré de leurs distances à l’axe de rotation, on a

$\int dm{\frac {\left(x_{1}-\mathrm {X} \right)\left(dy_{1}-d\mathrm {Y} \right)-\left(y_{1}-\mathrm {Y} \right)\left(dx_{1}-d\mathrm {X} \right)}{dt}}=\mathrm {C} n\cos \theta ',$

$\theta '$ étant l’inclinaison de l’équateur terrestre au plan fixe. On a pareillement

$\mathrm {L} {\frac {\left(x-\mathrm {X} \right)\left(dy-d\mathrm {Y} \right)-\left(y-\mathrm {Y} \right)\left(dx-d\mathrm {X} \right)}{dt}}=\mathrm {L} n'a^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\cos \gamma ,$

$n'$ étant la vitesse moyenne angulaire du mouvement de la Lune autour de la Terre, $a$ étant sa moyenne distance à la Terre, $e$ étant le rapport de l’excentricité au demi-grand axe de son orbite, et $\gamma$ étant