Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 13.djvu/181

rayons $r$ et $a'$ soit fort petite. La fonction $a'\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V}$ étant égale à

$(f)\qquad \qquad \qquad {\frac {r-a'}{2}}\int {\frac {dm(r-a'-2a'\cos \nu )}{\left(r^{2}-2a'r\cos \nu +a'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

cette intégrale, à cause de la grandeur de son diviseur, pourrait alors ne pas devenir insensible par la petitesse de son facteurt $r-a'.$ Mais on voit que si, près du point attiré, la molécule $dm$ diminue comme le carré $r^{2}-2a'r\cos \nu +a'^{2}$ de la distance de ce point à celle molécule, alors l’intégrale $(f)$ devient insensible et l’équation (1) subsiste.

Si l’on conçoit présentement un sphéroïde très peu différent d’une sphère et si l’on suppose le point attiré à sa surface et, à ce point, une sphère osculatrice du rayon $a$ fort peu différent du rayon du sphéroïde, alors $\mathrm {V}$ désignant la somme des molécules de l’excès du sphéroïde sur la sphère, divisées par leur distance au point attiré, l’intégrale $(f)$ deviendra nulle, parce que les molécules $dm$ de cet excès sont nulles au point de contact et, près de ce point, elles croissent comme le carré de leur distance à ce point. L’équation (1) subsiste donc pour ce point. Relalivement à la sphère, on a

$a\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {2}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}\,;$

en supposant donc que $\mathrm {V}$ est relatif au sphéroïde entier, on aura, pour le point attiré situé à ce conlact,

(2)

$a\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {2}{3}}\pi a^{2}\,;$

c’est l’équation que j’ai donnée dans le n^o 10 du troisième Livre de la Mécanique céleste ^[1].

Ici l’origine des $r$ est fixée au centre de la sphère osculatrice du rayon $a.$ Si l’on désigne par $a(1+\alpha y)$ le rayon du sphéroïde, $\alpha$ étant

1. Œuvres de Laplace, T. II, p. 30.