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En substituant pour $dp'$ et $dq'$ leurs valeurs précédentes en $dp$ et $dq,$ et comparant séparément les coefficients de $dp$ et de $dq,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}\cos \theta '-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}\sin \theta '=&{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}\cos \gamma '\sin \theta '+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}\cos \gamma '\cos \theta '=&{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}\end{aligned}}$

Ces valeurs de ${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}$ et de ${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}$ substituées dans l’expression de $dp',$ donnent

$dp'=-{\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\cos \gamma '{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}.$

On trouvera de la même manière

$dq'={\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\cos \gamma '{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}.$

Ces équations sont rigoureuses et peuvent être substituées aux équations (5) et (6) du Supplément.

On peut en conclure de cette manière les valeurs de $d\gamma '$ et de $d\theta '.$

Pour cela, on observera que

$\sin ^{2}\gamma '=p'^{2}+q'^{2},\qquad \operatorname {tang} \theta '={\frac {p'}{q'}},$

ce qui donne

$d\gamma '\sin \gamma '\cos \gamma '=p'dp'+q'dq',\qquad d\theta '\sin ^{2}\gamma '=q'dp'-p'dq'.$

Substituant au lieu de $dp'$ et de $dq'$ leurs valeurs précédentes, on aura

$d\gamma '\sin \gamma '=-{\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left(p'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}-q'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}\right).$

On a

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}dp'+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}dq'={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}d\theta '+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}d\gamma '.$

En substituant pour $d\theta '$ et $d\gamma '$ leurs valeurs précédentes, et en comparant séparément les coefficients de $dp'$ et de $dq',$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}=&\quad {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}{\frac {\cos \theta '}{\sin \gamma '}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}{\frac {\sin \theta '}{\cos \gamma '}}\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}=&-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}{\frac {\sin \theta '}{\sin \gamma '}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}{\frac {\cos \theta '}{\cos \gamma '}}\,;\end{aligned}}$