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l’unité ; si l’on substitue pour $n,$ ${\frac {1}{a^{\frac {3}{2}}}},$ et si l’on observe qu’en n’ayant égard qu’aux variations séculaires on doit supposer $d\mathrm {R}$ nul, les équations (3), (4), (5) et (6) donneront les suivantes :

${\begin{aligned}m{\frac {dh}{dt}}{\sqrt {a}}=&-m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial l}},\\m{\frac {dl}{dt}}{\sqrt {a}}=&\quad \ m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial h}}\,;\\m{\frac {dp}{dt}}{\sqrt {a}}=&-m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}\,;\\m{\frac {dq}{dt}}{\sqrt {a}}=&\quad \ m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}},\end{aligned}}$

où l’on ne doit considérer dans une première approximation que la partie constante de $m\mathrm {R}$ et dépendant de $h,l,p$ et $q.$ Cela posé, si l’on développe l’expression de $\mathrm {R}$ du n^o 46 du second Livre, et si l’on désigne par $\mathrm {F}$ la fonction

$\sum \left\{{\frac {3mm'aa'(a,a')^{1}}{8\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}\left[\left(h^{2}+l^{2}+h'^{2}+l'^{2}\right)-(p'-p)^{2}-(q'-q)^{2}\right]\right.$

$\left.-3mm'\left[{\frac {\left(a^{2}+a'^{2}\right)(a,a')+aa'(a,a')^{1}}{2(a'^{2}-a^{2})^{2}}}\right](hh'+ll')\right\},$

$(a,a')$ étant la partie indépendante de $\theta ,$ dans le développement de $\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{\frac {1}{2}},$ suivant les cosinus de $\theta$ de ses multiples ; $(a,a')^{1}$ étant le coefficient de $\cos \theta$ dans ce développement et $\sum mm'$ désignant la somme de tous les produits des quantités $m,m',m'',\ldots ,$ multipliées deux à deux, on aura les équations suivantes :

${\begin{aligned}m\ \ {\frac {dh}{dt}}\ \ {\sqrt {a}}\ =&-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial l}},\\m\ \ {\frac {dl}{dt}}\ \ {\sqrt {a}}\ =&\quad \ {\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial h}},\\m\ \ {\frac {dp}{dt}}\ \ {\sqrt {a}}\ =&-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial q}},\\m\ \ {\frac {dq}{dt}}\ \ {\sqrt {a}}\ =&\quad \ {\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial p}},\\m'{\frac {dh'}{dt}}{\sqrt {a'}}=&-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial l'}},\qquad \ldots .\end{aligned}}$