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mètre eût considéré ce que j’ai dit dans les Mémoires cités de l’Académie de 1784 et dans le second Livre de la Mécanique céleste, il aurait vu que, sans recourir à cette résolution, je démontre que ces racines ne doivent point renfermer d’imaginaires. En effet, $h$ aurait alors une exponentielle de la forme $e^{ft}\mathrm {P} .$ Soient $e^{ft}\mathrm {Q} ,e^{ft}\mathrm {P} ',e^{ft}\mathrm {Q} ',\ldots ,$ les exponentielles correspondantes de $l,h',l',\ldots \,;$ l’équation précédente en $e^{2},e'^{2},\ldots$ donnera

$e^{ft}\left[\mathrm {\left(P^{2}+Q^{2}\right)} m{\sqrt {a}}+\mathrm {\left(P'^{2}+Q'^{2}\right)} m'{\sqrt {a'}}+\ldots \right]+\ldots =\mathrm {C} .$

En supposant $e^{ft},$ la plus grande des exponentielles des valeurs de $h,l,h',\ldots ,$ on voit que le premier terme du premier membre de cette équation ne peut être détruit par les suivants, d’où il suit que $\mathrm {P,Q,P'} ,\ldots ,$ sont nuls, et qu’ainsi toutes les racines de l’équation dont nous venons de parler sont réelles. C’est ainsi que dans les Mémoires de l’Académie de 1784 et dans la Mécanique céleste, j’ai conclu des équations précédentes entre $e^{2},e'^{2},\ldots \gamma ^{2},\gamma '^{2},\ldots ,$ auxquelles je suis parvenu le premier, la stabilité du système solaire et des systèmes de satellites. J’ai observé de plus, dans le Livre VI de la Mécanique céleste, que la grande inégalité de Jujiiter et de Saturne n’altère point cette stabilité, quoiqu’elle produise des quantités très sensibles dans les expressions des variations séculaires des éléments.

Euler, Clairaut et d’Alembert appliquèrent, les premiers, l’analyse aux perturbations des mouvements célestes, que Newton n’avait considérées que d’une manière synthétique et imparfaite. Mais, ce qui est très remarquable, ils trouvèrent, tous les trois, des résultats de la théorie contraires aux observations. Euler, dans sa pièce sur Jupiter et Saturne, qui remporta le prix de l’Académie des Sciences de 1748 et qui parvint au secrétariat de l’Académie le 27 juillet 1747, donna les équations différentielles du mouvement de trois corps qui s’attirent suivant la loi newtonienne. En les appliquant au mouvement de Saturne troublé par l’action de Jupiter et cherchant à les intégrer, il rencontra une grande difficulté dans le radical qui exprime la distance rectiligne des deux planètes. Il parvint, par une savante analyse, à le développer dans une série de cosinus d’angles multiples de leur élon-