à trouver, par une première approximation, le mouvement du périgée de l’orbe lunaire plus petit de moitié que suivant les observations, ce qu’il était facile de conclure du second corollaire de la proposition 45 du premier Livre des Principes de Newton. Clairaut pensa qu’il fallait ajouter à la loi newtonienne un nouveau terme qui, diminuant dans une plus grande raison que le carré de la distance, est sensible pour la Lune et devient insensible pour les planètes. Cette idée fut vivement combattue par Buffon qui chercha, par des raisons métaphysiques, à établir que la loi de la gravitation universelle ne pouvait être exprimée que par un seul terme. Clairaut, en cherchant à déterminer ce qu’il jugeait devoir y ajouter, reconnut que la seconde approximation donne, il fort peu près, la seconde moitié du mouvement du périgée, ce qui a été confirmé depuis par les recherches des géomètres qui sont enfin parvenus à ramener toutes les inégalités lunaires au seul principe général de la pesanteur et à former, d’après ce principe seul, des Tables lunaires aussi exactes que celles que l’on a déduites des observations combinées avec la théorie.
Les arcs de cercle, que la suite des intégrations introduit, ont embarrassé les géomètres qui ont appliqué l’analyse aux perturbations des mouvements célestes, et les moyens qu’ils ont imaginés pour les faire disparaître sont une des parties les plus intéressantes de l’Astronomie théorique. L’un de ces moyens consiste à considérer l’orbite comme une ellipse variable, dont le périgée et les nœuds ont des mouvements uniformes. En substituant les coordonnées de cette ellipse dans les équations différentielles du mouvement troublé, on détermine ces mouvements de manière que les termes qui peuvent introduire des arcs de cercle se détruisent. Clairaut a, le premier, employé, dans la théorie de la Lune, ce moyen qui devient insuffisant dans la théorie des planètes. Euler, dans sa seconde pièce sur Jupiter et Saturne, qui remporta le prix de l’Académie des Sciences de 1752, imagina de considérer l’équation du centre comme formée de deux autres. Il supposa donc la partie variable du rayon vecteur de l’astre troublé exprimée par deux termes, dont l’un se rapporte à un périgée mobile et l’autre à
