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On a, pour la première division,

${\begin{aligned}u^{(1)}=&b\sin \mathrm {V} ^{(1)}\,;\\z^{(1)}=&b\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {V} ^{(1)}.\end{aligned}}$

La dépression du mercure dans le baromètre est ${\frac {1}{ab}}$ [voir le Supplément à la Théorie de l’action capillaire, p. 59 et suivantes. Tome IV de la Mécanique céleste ^[1]]. Les expressions de $z$ et ${\frac {dz}{du}}$ de la page 60 de ce Supplément, donnent les séries suivantes dont on a fait usage pour les dépressions au-dessous de $0^{\mathrm {mm} }{,}8\,:$

${\begin{aligned}z={\frac {1}{ab}}({\overline {2}}{,}8860566u^{2}&+{\overline {3}}{,}1700532u^{4}+{\overline {5}}{,}1018673u^{6}\\&+{\overline {8}}{,}7838040u^{8}+{\overline {10}}{,}2719206u^{10}+\ldots ),\\\operatorname {tang} \mathrm {V} ={\frac {1}{ab}}({\overline {1}}{,}1870866u&+{\overline {3}}{,}7721132u^{3}+{\overline {9}}{,}8800186u^{5}\\&+{\overline {7}}{,}6868940u^{7}+{\overline {9}}{,}2719206u^{9}+\ldots ),\end{aligned}}$

les coefficients des puissances de $u$ étant ici représentés par leurs logarithmes, pour la facilité du calcul ; les chiffres surmontés d’une barre horizontale étant des caractéristiques négatives. Ainsi, en donnant à $u$ une valeur telle que $\mathrm {V}$ tombe entre quatre et six degrés, on a déterminé fort exactement les coordonnées relatives à cette inclinaison des côtés de la courbe. De là, au moyen des formules précédentes, on a calculé ces coordonnées pour $\mathrm {=} 6^{\circ },$ et l’on a fait croître cet angle de deux en deux degrés jusqu’à douze degrés ; au delà, on a supposé les accroissements successifs, de quatre degrés jusqu’à $\mathrm {V} =52^{\circ }.$

Pour coordonner les divers résultats obtenus par la méthode précédente, dans une Table relative à des accroissements égaux du diamètre du tube, j’ai observé que les différences des logarithmes des dépressions divisées par les différences des diamètres des tubes, forment une suite de quotients qui varient avec lenteur. Il m’a été facile, au

1. Œuvres de Laplace, T. IV, p. 479 et suivantes.