sentons par
l’équation de la tangente ;
sera la sous-tangente, et l’on aura
![{\displaystyle x+a={\frac {y}{h}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2653b021609e94f74a8af9d84da27184b8d3d6)
si l’on change
dans
et
dans
on aura
![{\displaystyle y'=hx'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78eceedb232236c1804979f994da2db9c088da6f)
En comparant cette expression de
avec celle-ci,
![{\displaystyle y'=\mathrm {A} x'+\mathrm {B} x'^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc3d7485a20eb90fc9c5403b142f30db5d2696a)
relative à la courbe proposée, on aura
![{\displaystyle h=\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e7a713b0b4d945e6b65178e24611ef752b0205)
et, par conséquent, la sous-tangente est égale à ![{\displaystyle {\frac {y}{\mathrm {A} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fd851c4f94a0d1b3efd5081d27281a12c674c5)
Si la courbe osculatrice est un cercle, en nommant
son rayon et
et
les coordonnées de son centre, coordonnées que nous supposons ici perpendiculaires entre elles, ainsi que
et
on aura, par la nature du cercle,
![{\displaystyle (a-x)^{2}+(b-y)^{2}-\mathrm {R} ^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799518b86c5b8d2ddfdae3e9e9315b6c4b66f103)
en changeant
dans
et
dans
on aura
![{\displaystyle y'=\left({\frac {x-a}{b-y}}\right)x'+{\frac {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}{2(b-y)^{3}}}x'^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000c57fc2615a9338c978f8a5030bd4658678c14)
Cette expression de
comparée à celle-ci,
![{\displaystyle y'=\mathrm {A} x'+\mathrm {B} x'^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc3d7485a20eb90fc9c5403b142f30db5d2696a)
donne
![{\displaystyle {\frac {x-a}{b-y}}=\mathrm {A} ,\qquad {\frac {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}{2(b-y)^{3}}}=\mathrm {B} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a013331a7eb07284061f4aca85e4377ba816cd4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} =&\mathrm {\frac {\left(1+A^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2B}} ,\\a=&x-\mathrm {A{\frac {1+A^{2}}{2B}}} ,\\b=&y+\mathrm {\frac {1+A^{2}}{2B}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6a09cd57f202504485657f43fd6bdd38bbf953)