on aura donc ainsi les valeurs de
et
en fonctions de
et, par conséquent, on aura la position d’un plan tangent, à un point quelconque de la surface, au moyen des coordonnées de ce point.
Si l’on rapporte à ce plan les coordonnées de la surface, que nous supposerons ici perpendiculaires entre elles, et si nous fixons au point de tangence l’origine de ces coordonnées, en nommant
les coordonnées dans le plan tangent, et
l’ordonnée qui lui est perpendiculaire, l’expression de
en série pourra être mise sous la forme
![{\displaystyle z''=mx''^{2}+ny''^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668b5b2ac872aee2225a174d2f38e0ac28638fa5)
Car, par la nature du plan tangent, les termes multipliés par les premières puissances de
et de
doivent disparaître, et l’on peut choisir la position de l’axe des
de manière que le terme
disparaisse ;
sont des fonctions connues des coordonnées
du point de tangence. Si, par ce point, on imagine un plan quelconque perpendiculaire à la surface, la courbe formée par la section de ce plan aura pour coordonnées
et
si l’on nomme
le rayon osculateur de cette section, on aura, par la nature du cercle,
![{\displaystyle z''={\frac {x''^{2}+y''^{2}}{2\mathrm {R} }}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34ffe46c722e694c8212777f2b177d3476e6e68)
Soit
l’angle que forme le plan coupant avec l’axe des
on aura
![{\displaystyle y''=x''\operatorname {tang} \mathrm {A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e609eedb430545ec6fa69a3cf5960bad2ead78)
les expressions de
relatives à la section et au cercle osculateur, deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}z''=&{\frac {m\cos ^{2}\mathrm {A} +n\sin ^{2}\mathrm {A} }{\cos ^{2}\mathrm {A} }}x''^{2}+\ldots ,\\z''=&{\frac {x''^{2}}{2\mathrm {R} \cos ^{2}\mathrm {A} }}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93fa776723f00fee3ae0fbf46a0f94511522c43)
La comparaison de ces expressions donne
![{\displaystyle 2\mathrm {R} ={\frac {1}{m\cos ^{2}\mathrm {A} +n\sin ^{2}\mathrm {A} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b3400157aebdbe901700fd99014be9ce7abc14)