sont respectivement génératrices des variables
![{\displaystyle y'_{x}\Delta ^{n}y_{x},\quad \Delta y'_{x}\Delta ^{n-1}y_{x+1},\quad \Delta ^{2}y'_{x}\Delta ^{n-2}y_{x+2},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47be5fbd2c2b87b4b6d74479ff2596f27af930b8)
l’équation identique
![{\displaystyle uu'\left({\frac {1}{tt'}}-1\right)^{n}=uu'\left[\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {n}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed9bcf7c38f5df15d816b2cfbc902f99df5f2e5)
donnera donc, en l’epassant des fonctions génératrices aux coefficients,
![{\displaystyle \Delta ^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}\Delta ^{n}y_{x}+n\Delta y'_{x}\Delta ^{n-1}y_{x+1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y'_{x}\Delta ^{n-2}y_{x+2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757739c9f9f3ce546b583ac2b82bb2cb2284e3a4)
en changeant
dans
on aura
![{\displaystyle \Sigma ^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}\Sigma ^{n}y_{x}+n\Delta y'_{x}\Sigma ^{n+1}y_{x+1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y'_{x}\Sigma ^{n+2}y_{x+2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba7d84fc29823aafcd33b49caabdc37a322819d)
Au lieu du multiplicateur
considérons généralement le multiplicateur
![{\displaystyle a+{\frac {bz}{tt'}}+{\frac {cz^{2}}{t^{2}t'^{2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6176e855fd80c0d7a97e0bb1fcf947d7468d19)
et désignons par
la fonction
![{\displaystyle ay_{x}y'_{x}+bzy_{x+1}y'_{x+1}+cz^{2}y_{x+2}y'_{x+2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1875c26a893909ba0f81e1ad8f9425fc770de28)
sera la fonction génératrice de
désignons par
la fonction
![{\displaystyle \left(a+{\frac {bz}{tt'}}+{\frac {cz^{2}}{t^{2}t'^{2}}}+\ldots \right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac956f663e13b869d9c5eb4a8262b8c13dfd584b)
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}uu'\varphi ^{n}\left({\frac {z}{tt'}}\right)=&uu'\varphi ^{n}\left[{\frac {z}{t}}+{\frac {z}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right]\\=&uu'\left[\varphi ^{n}\left({\frac {z}{t}}\right)+{\frac {z}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right){\frac {\partial \varphi ^{n}\left({\frac {z}{t}}\right)}{\partial z}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {z^{2}}{t^{2}}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi ^{n}\left({\frac {z}{t}}\right)}{1.2\partial z^{2}}}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196c670147b0ef5bcff695a4940ad44b3fb25ead)