et, par conséquent,
![{\displaystyle d^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}d^{n}y_{x}+ndy'_{x}d^{n-1}y_{x}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}d^{2}y'_{x}d^{n-2}y_{x}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6faf1ee76b6e95e7fda181e4160117377feb1320)
on faisant
négatif,
se change en
et l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int ^{n}y_{x}y'_{x}dx^{n}=&y'_{x}\int ^{n}y_{x}dx^{n}+n{\frac {dy'_{x}}{dx}}\int ^{n+1}y_{x}dx^{n+1}\\&+{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {d^{2}y'_{x}}{dx^{2}}}\int ^{n+2}y_{x}dx^{n+2}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84946f4e346c523abf0f0e463f759a3409e625e)
On a encore
![{\displaystyle uu'u''\ldots \left({\frac {1}{t^{i}t^{'i}t^{''i}\ldots }}-1\right)^{n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d43b57a1936a0459ee73af6772b9512c01c053)
![{\displaystyle uu'u''\ldots \left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)^{i}\ldots -1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d603d7a135e7016383018d731ec1440ef8b1ac3d)
en désignant donc par
la différence finie du produit
lorsque
varie de
l’équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
![{\displaystyle (a)\qquad '\Delta ^{n}(y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots )=\left[(1+\Delta )^{i}(1+\Delta ')^{i}(1+\Delta '')^{i}\ldots -1\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb154bcd7bc3f1da5c69126b35f38c9d3d346eb)
en observant les conditions prescrites ci-dessus, relativement aux caractéristiques
et à leurs puissances. Supposons ![{\displaystyle x={\frac {x'}{dx'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9832ea532529ec9b6fa658c09b3fc32286df1ce)
deviendront des fonctions de
que nous désignerons par
variant de l’unité dans
ne variera que de
dans
ainsi la caractéristique
se changera dans la caractéristique différentielle
mais dans
variant de
ou de
variera de la quantité finie
maintenant on a
![{\displaystyle (1+d)^{i}=(1+d)^{\frac {\alpha }{dx'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2faa7f7d8146c7a69f0140c9f1a01086d1d00f9)
le logarithme hyperbolique de ce second membre est
ce qui donne, en repassant des logarithmes aux nombres,
![{\displaystyle (1+d)^{\frac {\alpha }{dx'}}=e^{\frac {\alpha d}{dx'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771f4625dd52caee39757bd8165b433b89f78e1a)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; l’équat-