l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
est nul à ces limites ; car nous supposons la fonction
telle que son produit par
reste nul lorsque
est infini ; on a donc alors
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x'}}=\int dze^{-z^{2}}\varphi ''\left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517529f0d535c859fd0fb6e586dc51f99a20df58)
L’expression précédente de
au moyen d’une intégrale définie, est complète, quoiqu’elle ne renferme qu’une seule fonction arbitraire ; cependant, en développant
par rapport aux puissances de
on trouve que l’on satisfait à l’équation proposée aux différences partielles, en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=\quad &\varphi (x')+\ \ {\frac {x^{2}}{1.2}}\ \ {\frac {d\varphi (x')}{dx'}}\ +\ \ {\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}\ {\frac {d^{2}\varphi (x')}{dx'^{2}}}+\ldots \\+x&\psi (x')+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}\psi (x')}{dx'^{2}}}+{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}{\frac {d^{3}\psi (x')}{dx'^{3}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1671e6bb4994f4df0bc6934dd4e3d4c52204861)
et
étant deux fonctions arbitraires de
Cette expression paraît donc, au premier coup d’œil, plus générale que la précédente, qui ne renferme qu’une seule fonction arbitraire ; mais nous allons faire voir qu’elle en dérive.
Supposons que
soit une fonction arbitraire qui ne renferme que des puissances paires de
on satisfera par ce qui précède, à l’équation proposée aux différences partielles, en faisant
![{\displaystyle y=\int dze^{-z^{2}}\Gamma \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e748ecb953e2438e4c3607644932d579ef936f40)
En développant cette expression de
par rapport aux puissances de
on aura
![{\displaystyle y=\int dze^{-z^{2}}\left[\Gamma \left(2z{\sqrt {x'}}\right)+x\Gamma '\left(2z{\sqrt {x'}}\right)+{\frac {x^{2}}{1.2}}\Gamma ''\left(2z{\sqrt {x'}}\right)+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f50a89f95109450d42e3a9dfc7dec2bcb39c5f)
ne renfermant que des puissances paires de
ne renfermera que des puissances impaires de la même quantité ; en sorte que l’on aura
![{\displaystyle \Gamma '\left(-2z{\sqrt {x'}}\right)=-\Gamma '\left(2z{\sqrt {x'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a553ace1a5f2d124920d200a31033988460db8b)