moindre que l’unité. L’intégrale
est donc aussi positive et finie. Tous les éléments de cette intégrale sont positifs depuis
jusqu’à
En faisant ensuite
l’intégrale se réduit à
et l’on voit par ce qui précède, que cette dernière intégrale, prise depuis
nul jusqu’à
infini, est une quantité négative ; l’intégrale partielle
prise depuis
nul jusqu’à
surpasse donc l’intégrale entière prise jusqu’à l’infini.
Reprenons maintenant les équations (1) et (2) et supposons d’abord
infiniment petit, l’équation (2) donnera
![{\displaystyle \int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}}=(2r+1){\frac {\pi }{2}}k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b704ebb71c598f3c665391c410fa688e7da40a)
est égal à l’intégrale
et cette intégrale devient ici
Tant que
est moindre que l’unité,
est égal à l’unité ; et il devient nul, lorsque
surpasse l’unité ;
est donc égal à l’unité. Maintenant, l’intégrale
est moindre que cette même intégrale, prise depuis
jusqu’à
et cette dernière intégrale est plus petite que l’intégrale
prise dans le même intervalle, et, par conséquent, plus petite que
il faut donc ici faire
et
ce qui donne
![{\displaystyle \int {\frac {dx\sin x}{x}}={\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f859ea982cb3d6e4219e3b517f59bc7efa9e95bc)
l’équation (1) donne alors
infini, comme cela doit être.
Si l’on suppose
on aura
et cette dernière quantité est
comme je l’ai fait voir dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782[1] ; les équations (1) et (2) deviennent
- ↑ Œuvres de Laplace, T. X, p. 223.