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(Mémoires de l’Académie des Sciences, 1782, p. 21)^[1] ; on a ensuite

${\begin{aligned}\int {\frac {dx\cos x}{x^{\frac {3}{4}}}}=&4k\cos {\frac {2r+1}{4}}{\frac {\pi }{2}},\\\int {\frac {dx\sin x}{x^{\frac {3}{4}}}}=&4k\sin {\frac {2r+1}{4}}{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

Ici, on peut supposer encore $r$ nul ; car l’intégrale $\int {\frac {dx\sin x}{x^{\frac {3}{4}}}}$ doit être comprise entre les intégrales $\int {\frac {dx\sin x}{x^{\frac {1}{2}}}}$ et $\int {\frac {dx\sin x}{x}},$ et c’est ce qui a lieu en supposant $r$ nul, car alors ces trois intégrales sont $1{,}2533\,;$ $1{,}3875\,;$ $1{,}5708\,:$ la valeur de l’intégrale $\int {\frac {dx\cos x}{x^{\frac {3}{4}}}}$ est $3{,}34963.$

Si $\alpha$ est infiniment petit, alors $k=\int dte^{-t^{\frac {1}{1-\alpha }}}=\int dte^{-t}=1,$ ensuite on a

${\begin{aligned}\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}}=&\sin(2r+1){\frac {\pi }{2}}=1,\\\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}=&\sin(2r+1)\alpha {\frac {\pi }{2}}=(2r+1){\frac {\alpha \pi }{2}}\,;\end{aligned}}$

or on a, pour ce qui précède,

$\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}=\alpha \int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha +1}}},$

et, dans le cas de $\alpha$ infiniment petit,

$\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha +1}}}=\int {\frac {dx\sin x}{x}}={\frac {\pi }{2}},$

donc

$\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}={\frac {\alpha \pi }{2}}.$

En comparant cette valeur à la précédente, on voit que $r$ doit être supposé nul.

Considérons encore le cas de $\alpha ={\frac {1}{4}}.$ Dans ce cas, on a

$k=\int dte^{-t^{\frac {4}{3}}}\,;$

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 226.