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en changeant $x$ en $x^{(n)}$ et $y$ en $x^{(n-1)},$ on aura

$x^{(n)}={\frac {x^{(n-1)}{\sqrt {\mathrm {A} }}+a{\sqrt {\mathrm {X} ^{(n-1)}}}}{1-a^{2}x^{(n-1)^{2}}}}.$

$\mathrm {X} ^{(n)}$ étant ce que devient $\mathrm {X}$ lorsqu’on y change $x$ en $x^{(n)}.$ On aura, au moyen de cette équation, la valeur de $x^{(n)}$ en $x^{(0)}$ et $a\,;$ car elle donnera la valeur de $x^{(1)}$ en fonction de ces deux quantités ; ensuite elle donne $x^{(2)}$ en fonction de $x^{(1)}$ et de $a$ et, par conséquent, en fonction de $x^{(0)}$ et de $a,$ en substituant pour $x^{(1)}$ sa valeur, et ainsi de suite. On aura ainsi $x^{(n)}$ en fonction de $x^{(0)},$ $a$ et $n\,;$ or on a, par ce que l’on a vu ci-dessus,

$\psi \left(x^{(n)}\right)=n\psi (a)+\psi \left(x^{(0)}\right)\,;$

en désignant donc par le signe renversé $\psi$ la valeur de $x^{(n)}$ en $\psi (x^{(n)}),$ en sorte que l’on ait

$x^{(n)}=$$\psi$$\left[\psi \left(x^{(n)}\right)\right]\,;$

on aura

$x^{(n)}=$$\psi$$\left[n\psi (a)+\psi \left(x^{(0)}\right)\right].$

La Table à simple entrée qui donne $\psi (x)$ en $x$ donnera donc la valeur de $x^{(n)}.$

Supposons $\alpha =-1\,;$ on aura

$\mathrm {X} =\left(1-x^{2}\right)^{2},\ \ x^{(n)}={\frac {x^{(n-1)}+a}{1-ax^{(n-1)}}},\ \ \psi (x)=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arc} \operatorname {tang} x\,;$

$\psi (x)$ sera donc $\operatorname {arc} \operatorname {tang} x$ et, par conséquent, $\psi$(x) sera $\operatorname {tang} x\,;$ on aura donc

$x^{(n)}=\operatorname {tang} \left(n\operatorname {arc} \operatorname {tang} a+\operatorname {arc} \operatorname {tang} x^{(0)}\right),$

ainsi la Table des tangentes donnera généralement la valeur de $x^{(n)}$ ou les valeurs de l’intégrale de l’équation aux différences finies,

$0=a-\left(x^{(n+1)}-x^{(n)}\right)+ax^{(n+1)}x^{(n)}.$