et en réduisant en séries
![{\displaystyle \alpha s={\frac {gt^{2}}{2}}-{\frac {mg^{2}t^{4}}{12}}+{\frac {m^{2}g^{3}t^{6}}{45}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ffd941c0790252c4de414c1f635a7d5f79b224)
Pour déterminer
nous observerons que l’on a
![{\displaystyle \alpha {\frac {ds}{dt}}={\frac {1}{m}}{\frac {ds'}{s'dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0907979dd5302657dbfd8d195e3cf4a25fa6a808)
et qu’ainsi l’équation différentielle en
devient
![{\displaystyle 0=\alpha s'{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+\alpha {\frac {ds'}{dt}}{\frac {dv'}{dt}}-{\frac {2n}{m}}{\frac {ds'}{dt}}\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f474f3b02fd3dcac4e509d86a42422ecb90fae73)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle \alpha s'{\frac {dv'}{dt}}={\frac {2n}{m}}\sin \theta s'+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a637f5ea6fa92f4ba4af6b620f7f4c11cc50f905)
étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, nous observerons que
étant nul,
et
ce qui donne
![{\displaystyle C=-{\frac {2n}{m}}\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d062fd1f146f0102a1daad8e6319e64b04f59c6c)
![{\displaystyle \alpha {\frac {v'}{t}}={\frac {2n}{m}}\left(1-{\frac {1}{s'}}\right)\sin \theta ={\frac {2n}{m}}\left(1-{\frac {2}{e^{t{\sqrt {mg}}}+e^{-t{\sqrt {mg}}}}}\right)\sin \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26042db5fc5d08027eb9277f5a0abc155201a531)
En intégrant de manière que
soit nul avec
on aura
![{\displaystyle \alpha v'={\frac {2n\sin \theta }{m}}t-{\frac {4n\sin \theta }{m{\sqrt {mg}}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} \left({\frac {e^{{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}-e^{-{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}}{e^{{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}+e^{-{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582176c7de5a9f5b5896f5e581ae6178bf625495)
et en réduisant en séries, on aura
![{\displaystyle \alpha v'={\frac {ngt^{3}\sin \theta }{3}}\left(1-{\frac {mgt^{2}}{4}}+{\frac {61}{840}}m^{2}g^{2}t^{4}-\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce7b505c42fe6eb1888e6d68fbfbf1b7fb2f017)
On doit observer, dans ces expressions de
et des
que
exprimant un nombre d’unités de temps,
est le double de l’espace que la pesanteur fait décrire dans la première unité de temps ;
est l’angle