Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 14.djvu/297

les deux réfractions ordinaire et extraordinaire dans le cristal, est démontrée a priori, comme un résultat nécessaire de la loi de la réfraction extraordinaire. La vitesse du rayon ordinaire dans le cristal, est donc toujours plus grande que celle du rayon extraordinaire, la différence des carrés des deux vitesses étant proportionnelle au carré du sinus de l’angle que l’axe forme avec ce dernier rayon. Suivant Huygens, la vitesse du rayon extraordinaire dans le cristal est exprimée par le rayon même de l’ellipsoïde ; son hypothèse ne satisfait donc point au principe de la moindre action ; mais il est remarquable qu’elle satisfasse au principe de Fermat, qui consiste en ce que la lumière parvient, d’un point donné au dehors du cristal, à un point pris dans son intérieur, dans le moins de temps possible ; car il est facile de voir que ce principe revient à celui de la moindre action, en y renversant l’expression de la vitesse. Ainsi l’on peut déduire également de ces deux principes la loi de réfraction donnée par Huygens. Au reste, cette identité des lois de réfraction, déduites de la manière dont Huygens envisageait la réfraction de la lumière, avec celles que donne le principe de la moindre action, a lieu généralement quel que soit le sphéroïde dont les rayons, suivant lui, expriment la vitesse de la lumière dans l’intérieur du cristal ; ce que je démontre très simplement de la manière suivante :

Huygens considère un rayon $\mathrm {RC}$^[1], tombant sur une face naturelle ou artificielle $\mathrm {AFEK}$ du cristal d’Islande. En menant un plan $\mathrm {CO}$ perpendiculairement à ce rayon et prenant $\mathrm {OK}$ parallèle à $\mathrm {CR}$ pour représenter la vitesse de la lumière dans le vide, il suppose que tous les points $\mathrm {C} oo'\mathrm {O}$ de l’onde lumineuse parviennent, en même temps et suivant des directions parallèles, au plan $\mathrm {K} i'il$ qu’il détermine de cette manière. $\mathrm {AFED}$ est un ellipsoïde de révolution dont $\mathrm {C}$ est le centre et $\mathrm {CD}$ le demi-axe de révolution et dont les rayons représentent, suivant Huygens, les vitesses respectives de la lumière qui suit leurs directions. Il mène par le rayon $\mathrm {RC}$ un plan perpendiculaire

1. Œuvres de Laplace, T. XII, p. 281.