(
n’étant pas ici exposant, mais indiquant seulement le rang de
dans la suite des
). Si. dans l’expression de
on change
en
et réciproquement, on formera
si, dans la même expression de
on change
en
et réciproquement, on formera
et ainsi de suite, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&\quad \ u\quad \ \left(\mathrm {C} \quad \ +\int z\quad \ \mathrm {X} dx\right)\\&+u'\quad \left(\mathrm {C} '\quad +\int z'\quad \mathrm {X} dx\right)\\&+u''\ \ \ \left(\mathrm {C} ''\quad +\int z''\ \ \ \mathrm {X} dx\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+u^{n-1}\left(\mathrm {C} ^{n-1}+\int z^{n-1}\mathrm {X} dx\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c392bdaa2eb0e2b224ade54a45e4be281c1655df)
pour l’intégrale complète de l’équation (2).
Il résulte encore de cette méthode que l’intégrale de l’équation (2) dépend toujours de l’intégration de deux autres du degré
et dont il n’est même nécessaire que de trouver un nombre
d’intégrales particulières.
La même méthode s’étend encore aux différences finies.
Soit l’équation différentio-différentielle aux différences finies
(3)
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étant des fonctions de
et
ne désignant pas des puissances de
mais le
ième terme de la série des
des
etc. ; qu’on désigne par la caractéristique
les différences finies et par la caractéristique
les intégrales finies ; cela posé, soit
![{\displaystyle y^{x}=\mathrm {A} ^{n}+'\!\mathrm {A} \,'\!u+''\!\mathrm {A} \,''\!u+\ldots +{\sideset {^{n-1}}{^{n-1}}{\mathrm {A} }}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6502007d811baef2523affc64ddc3e95ef203bea)
l’intégrale de
(4)
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étant des intégrales particulières de l’équation (4) et ![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)