intégrale étant supposée commencer avec
cela posé, je construis la courbe
de manière que, l’abscisse
étant
l’ordonnée
soit
![{\displaystyle 6k^{2}{\frac {\left[\omega k^{4}+(10\omega -6)k^{2}+9\omega \right]}{\left(3k^{2}+9\right)^{2}\left(1+k^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1aaad8bd40f8791d0390d03803077a8ba7bec4d)
Il est clair : 1o que les ordonnées commenceront et finiront par être positives ; 2o que, si du côté des valeurs positives de
les seules que
nous devions considérer ici, la courbe coupe l’axe des abscisses, elle le coupera en deux points
tels que les abscisses
et
seront déterminées par les deux racines positives de l’équation
![{\displaystyle 0=\omega k^{4}+(10\omega -6)k^{2}+9\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4dd36cfecca0344e6f5dd7f25241361f211af1)
cette équation donne
![{\displaystyle k^{2}={\frac {3}{\omega }}-5\pm {\sqrt {\left({\frac {3}{\omega }}-5\right)^{2}-9}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e784ba4857fca39479a5d6a6404bdb1104d61d7b)
pour que
ait une valeur réelle et positive, il faut que
soit plus grand que
et que
soit positif ; dans ce cas, les deux valeurs de
seront réelles et positives, ce qui donnera pareillement pour
deux valeurs réelles et positives ; il suit de là que la courbe ne coupera point du tout son axe ou qu’elle le coupera en deux points
et
il est bien clair qu’elle ne peut le couper qu’en ces deux points, du côté des abscisses positives.
Maintenant la fonction
représente l’aire de la courbe, et, pour que cette fonction puisse être nulle, il faut que la courbe coupe son axe et que l’aire négative
excède, ou au moins soit égale a l’aire positive
il doit donc exister alors un point
tel que l’aire
soit égale à l’aire
mais, puisque la fonction
finit par être positive.