des puissances et des exposants.
La considération des nombres, indépendamment de leur valeur et de tout système de numération, a donné naissance à l’Arithmétique universelle, que l’on a désignée sous le nom d’Algèbre. Pour rendre cette filiation sensible, supposons que l’on se soit proposé de partager le nombre treize en deux parties telles que la première surpasse de cinq la seconde ; on aura pu raisonner ainsi : puisque la seconde partie est égale à la première diminuée de cinq, les deux parties réunies sont égales au double de la première, moins cinq ; mais la somme de ces parties est égale à treize ; en retranchant donc cinq du double de la première, on aura treize et, par conséquent, la première, prise deux fois, est égale à treize plus cinq, ou à dix-huit ; cette partie est donc égale à neuf, et la seconde est égale à quatre.
En considérant d’autres nombres que treize et cinq, on trouve, par le même raisonnement, les deux parties demandées ; mais, pour ne pas le recommencer chaque fois que l’on considère de nouveaux nombres, on a cherché à exprimer le résultat final, d’une manière indépendante de leur valeur. Pour cela, on a représenté les deux nombres par des caractères généraux, et les plus simples, pour nous, sont les lettres de l’alphabet. Soient donc le plus grand de ces nombres et le plus petit ; en appliquant à ces deux caractères le raisonnement que nous venons de faire sur les deux nombres treize et cinq, on trouve aisément que la première partie demandée est égale à la moitié de la somme des deux nombres et
Pour exprimer cette somme, ou, ce qui revient au même, pour indi-
