Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 14.djvu/69

---

cinquième séance.

sur la résolution des équations. théorème sur la forme
de leurs racines imaginaires.

---

Je vous ai présenté, dans la Leçon précédente, les propriétés les plus remarquables des équations ; je vais m’occuper, dans celle-ci, de leur résolution.

Il existe une classe nombreuse d’équations que l’on peut résoudre comme celles du deuxième degré ; elles sont comprises dans cette formule générale :

$x^{2n}+px^{n}+q=0.$

En les résolvant par la méthode que nous avons donnée, relativement aux équations du deuxième degré, on a

$x={\sqrt[{n}]{-{\frac {1}{2}}p\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}-q}}}}.$

Cette valeur de $x$ donne lieu à quelques observations. D’abord, l’extraction exacte de la racine de la quantité renfermée sous le radical est quelquefois possible ; ainsi, en supposant $n=2$ et $q$ égal à un carré que nous représentons par $m^{2},$ on a

$x=\pm {\sqrt {-{\frac {1}{4}}p+{\frac {1}{2}}m}}\pm {\sqrt {-{\frac {1}{4}}p-{\frac {1}{2}}m}}.$

Les géomètres ont imaginé, pour faire ces extractions, lorsqu’elles sont possibles, diverses méthodes qu’il est bon de connaître, pour donner aux expressions analytiques toute la simplicité dont elles sont susceptibles.

On peut observer ensuite que si l’on ne considère que les racines