densité, celle du fluide étant prise pour unité, cette force, à la distance
sera égale à
En la multipliant par l’élément
de sa direction, l’intégrale du produit sera
quantité qu’il faut ajouter à
et, comme à la surface on a
il faudra, dans l’équation de l’équilibre du numéro précédent, ajouter à
Cette équation deviendra
const.
![{\displaystyle ={\frac {4\alpha \pi }{3}}\left[1+(\rho -1){\frac {c^{3}}{a^{3}}}\right]y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\rm {N}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dab3da72a5316f4f48334cc0042c4e5ad0c331)
Si l’on désigne par
une nouvelle expression du rayon du sphéroïde en équilibre, on aura pour déterminer
l’équation
const.
![{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\pi \left[1+(\rho -1){\frac {c^{3}}{a^{3}}}\right]v-\iint v'dpdq'\sin p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec37d58118480545e45cf3375ddc573128c7d54)
équation qui est celle de l’équilibre du sphéroïde, en le supposant immobile et en faisant abstraction de toute force extérieure.
Si le sphéroïde est de révolution,
sera uniquement fonction de
ou de
; or on peut, dans ce cas, le déterminer par l’analyse du numéro précédent ; car, si l’on différentier cette équation
fois de suite relativement à
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {4}{3}}\pi \left[1+(\rho -1){\frac {c^{3}}{a^{3}}}\right]{\frac {\partial ^{i+1}v}{\partial \mu ^{i+1}}}-\iint {\frac {\partial ^{i+1}v'}{\partial \mu '^{i+1}}}dpdq'\sin p\cos ^{2i+2}p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f46b1ba467c3e6d21a5f7cf7fb2e1a5c7cd5973)
mais on a
![{\displaystyle \iint dpdq'\sin p\cos ^{2i+2}p={\frac {4\pi }{2i+3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c54a7f40e7b13454aff1f12c172e2e2fbf583d4)
l’équation précédente peut donc être mise sous cette forme
![{\displaystyle 0=\iint dpdq'\sin p\cos ^{2i+2}p\left\{{\frac {2i+3}{3}}\left[1+(\rho -1){\frac {c^{3}}{a^{3}}}\right]{\frac {\partial ^{i+1}v}{\partial \mu ^{i+1}}}-{\frac {\partial ^{i+1}v'}{\partial \mu '^{i+1}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cc7606530b2950133b61969c87317a20181f0c)
On peut prendre
tel que, abstraction faite du signe, on ait
![{\displaystyle {\frac {2i+3}{3}}\left[1+(\rho -1){\frac {c^{3}}{a^{3}}}\right]>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc1b2b3e1b5b53e7ec6f370198e438db7754c70)