valle ; la fonction
est donc négative dans le même intervalle ; ainsi, dans l’équation précédente, le coefficient de
est négatif, et ne peut être nul à la surface ;
doit donc être nul, ce qui donne
l’expression du rayon du sphéroïde se réduit ainsi à
c’est-à-dire que la surface de chaque couche de niveau du sphéroïde est elliptique, et par conséquent sa surface extérieure est elliptique.
par rapport à la Terre, est, par le no 23, égal à
l’équation (2) du numéro précédent donne ainsi
![{\displaystyle 0=\left[{\frac {4}{3}}\pi a^{5}\int \rho dh-{\frac {4}{3}}\pi a^{2}h\int \rho d.a^{3}+{\frac {4}{3}}\pi \int \rho d\left(a^{5}h\right)\right]{\rm {U}}^{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e890715e6b173164f95f50c709e9d18f18a1b0)
![{\displaystyle -{\frac {g}{2\alpha }}a^{5}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e66ecbdeea1840c551b02e3cca8582ba82cdb30)
À la surface, la première intégrale
est nulle ; on aura donc à cette surface, où ![{\displaystyle a=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c719ce6f8fad017c15d42295b27512f43c6208)
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(2)}={\frac {-{\frac {g}{2\alpha }}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{{\frac {4}{3}}\pi h\int \rho d.a^{3}-{\frac {4}{3}}\pi \int \rho d\left(a^{5}h\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa1e4c3be5d97072a46e7166efe06433e31b796)
Soit
le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur ; l’expression de la pesanteur étant, aux quantités près de l’ordre
égale à
on aura
partant
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(2)}={\frac {-\varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{2h-{\frac {2}{5}}{\frac {\int \rho d\left(a^{5}h\right)}{\int \rho a^{2}da}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d36c1149c754877c4b94229819930a9771b74ee)
en comprenant donc dans la constante arbitraire
que nous avons prise pour l’unité, la fonction
![{\displaystyle \alpha {\rm {Y}}^{(0)}-{\frac {\alpha h\varphi }{3h-{\frac {3}{5}}{\frac {\int \rho d\left(a^{5}h\right)}{\int \rho a^{2}da}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed34dd4781478d6dd2e5563c07ccc3668637c9aa)
le rayon du sphéroïde terrestre à la surface sera
![{\displaystyle 1+{\frac {\alpha h\varphi \left(1-\mu ^{2}\right)}{2h-{\frac {2\int \rho d\left(a^{5}h\right)}{5\int \rho a^{2}da}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455157b390b1ebad58779a420d3cc2dab0dc978e)