Les trois équations données par la nature des axes principaux de rotation deviendront ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}d\mu d\varpi \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dcb96db6f58cfb18827ba641dfc53117b8427c0)
Concevons l’intégrale
prise par rapport à
depuis
jusqu’à la valeur de
à la surface du sphéroïde, et développée dans une suite de la forme
étant, quel que soit
assujetti à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eec766e2f55272b9f15c24bbcd83fae1e260ab9)
On aura, par le théorème du no 12, lorsque
est différent de
et en observant que les fonctions
et
sont comprises dans la forme ![{\displaystyle {\rm {U}}^{(2)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6522e5760f54f88904da27eebd9ea7efa6737d72)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0=\iint {\rm {U}}^{(i)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(i)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(i)}d\mu d\varpi \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71eff89cf70742bb6f39088f2f08fee25604731)
Les trois équations relatives à la nature des axes de rotation deviendront ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0=\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7cb3bb827f3061f6d2ebec33a69132f9f534ea)
Ces équations ne dépendent donc que de la valeur de
cette valeur est de la forme
![{\displaystyle {\rm {H\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+H'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +H''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd03df81b949c7c23252a0eff917e9644f23fc6)
![{\displaystyle +{\rm {H'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +H^{iv}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f0e800821f431715fd15421c61b545b4e8284f)
en la substituant dans les trois équations précédentes, on aura
![{\displaystyle {\rm {{H'}=0,\qquad {\rm {H}}''=0,\qquad {\rm {{H}'''=0.}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d481f4ddeb7041409396764ba058935dd9afb6)