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Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/159

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quations

(B)

Supposons infini ; les premiers membres de ces équations seront négatifs, et alors la valeur de sera plus grande que en diminuant continuellement on arrivera enfin à une valeur qui rendra positif l’un de ces premiers membres, qui, avant d’arriver à cet état, deviendra nul. Pour connaître celui de ces membres qui le premier devient égal à zéro, on formera les quantités

Nommons la plus grande de ces quantités, et supposons qu’elle soit s’il y a plusieurs valeurs égales à nous considérerons celle qui correspond au nombre le plus grand. En substituant pour dans la ième des équations (B), sera égal à et, en diminuant il l’emportera sur le premier membre de cette équation devenant alors positif. Par les diminutions successives de ce membre croîtra plus rapidement que les premiers membres des équations qui la précèdent ; ainsi, puisqu’il devient nul lorsque les précédents sont encore négatifs, il est visible que, dans les diminutions successives de il sera toujours plus grand qu’eux, ce qui prouve que sera constamment plus grand que lorsque sera moindre que

Les premiers membres des équations (B) qui suivent la ième seront d’abord négatifs, et, tant que cela aura lieu, seront moindres que et par conséquent moindres que qui devient la plus grande de toutes les erreurs lorsque commence à devenir moindre que Mais, en continuant de diminuer on parvient à une valeur de cette variable, telle que quelques-