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quations

(B)

$\left\{{\begin{aligned}a^{(2)}-a^{(1)}-\left(p^{(2)}-p^{(1)}\right)y&=x^{(2)}-x^{(1)},\\a^{(3)}-a^{(1)}-\left(p^{(3)}-p^{(1)}\right)y&=x^{(3)}-x^{(1)},\\a^{(4)}-a^{(1)}-\left(p^{(4)}-p^{(1)}\right)y&=x^{(4)}-x^{(1)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

Supposons $y$ infini ; les premiers membres de ces équations seront négatifs, et alors la valeur de $x^{(1)}$ sera plus grande que $x^{(2)},x^{(3)},\ldots \,;$ en diminuant continuellement $y,$ on arrivera enfin à une valeur qui rendra positif l’un de ces premiers membres, qui, avant d’arriver à cet état, deviendra nul. Pour connaître celui de ces membres qui le premier devient égal à zéro, on formera les quantités

${\frac {a^{(2)}-a^{(1)}}{p^{(2)}-p^{(1)}}},\qquad {\frac {a^{(3)}-a^{(1)}}{p^{(3)}-p^{(1)}}},\qquad {\frac {a^{(4)}-a^{(1)}}{p^{(4)}-p^{(1)}}},\ldots$

Nommons ${\text{ϐ}}^{(1)}$ la plus grande de ces quantités, et supposons qu’elle soit ${\frac {a^{(r)}-a^{(1)}}{p^{(r)}}}-p^{(1)}\,;$ s’il y a plusieurs valeurs égales à ${\text{ϐ}}^{(1)}$ nous considérerons celle qui correspond au nombre $r$ le plus grand. En substituant ${\text{ϐ}}^{(1)}$ pour $y$ dans la $(r-1)$^ième des équations (B), $x^{(r)}$ sera égal à $x^{(1)},$ et, en diminuant $y,$ il l’emportera sur $x^{(1)},$ le premier membre de cette équation devenant alors positif. Par les diminutions successives de $y,$ ce membre croîtra plus rapidement que les premiers membres des équations qui la précèdent ; ainsi, puisqu’il devient nul lorsque les précédents sont encore négatifs, il est visible que, dans les diminutions successives de $y,$ il sera toujours plus grand qu’eux, ce qui prouve que $x^{(r)}$ sera constamment plus grand que $x^{(1)},x^{(2)},\ldots x^{(r-1)},$ lorsque $y$ sera moindre que ${\text{ϐ}}^{(1)}.$

Les premiers membres des équations (B) qui suivent la $(r-1)$^ième seront d’abord négatifs, et, tant que cela aura lieu, $x^{(r+1)},x^{(r+2)},\ldots$ seront moindres que $x^{(1)}$ et par conséquent moindres que $x^{(r)},$ qui devient la plus grande de toutes les erreurs $x^{(1)},x^{(2)},\ldots ,x^{(n)},$ lorsque $y$ commence à devenir moindre que ${\text{ϐ}}^{(1)}.$ Mais, en continuant de diminuer $y,$ on parvient à une valeur de cette variable, telle que quelques-