développements en séries suivant les puissances de
ce qui suffit dans la question présente ; mais, comme
devient infmi dans la supposition de
infini, il faut, au lieu de chercher
, déterminer
dont la valeur n’est jamais infinie. Il est visible que l’expression de
donnera celle de
et par conséquent on aura les attractions de l’anneau parallèles aux axes des
et des ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Les dimensions de la figure génératrice des anneaux de Saturne sont assez petites relativement à leurs diamètres pour que l’on puisse négliger les termes divisés par
; or, si l’on substitue dans l’intégrale précédente, au lieu de
sa valeur en série
et si l’on suppose
elle devient, en négligeant les termes divisés par
![{\displaystyle \int {\frac {dt}{\sqrt {(u-x)^{2}+y^{2}+t^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2b17ac97ee05a1210f003b9bb3bc6d6973a760)
Sa différentielle, prise par rapport à
et divisée par
est
![{\displaystyle -\int {\frac {(u-x)dt}{\left[(u-x)^{2}+y^{2}+t^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa201554143adfe5e374853bc4fcf7e0e95ab073)
L’intégrale relative à
devant être prise depuis
jusqu’à
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, elle est évidemment la même que si on la prenait depuis
jusqu’à
ce qui, dans le cas de
infini, revient à prendre l’intégrale relative à
depuis
jusqu’à
et alors elle devient
![{\displaystyle -{\frac {2(u-x)}{(u-x)^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd6832461a07bd55d40eb659d3445b5c845c321)
et par conséquent on a, lorsque le point attiré est sur l’axe des
,
![{\displaystyle -{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial u}}=2\iint {\frac {(u-x)dydx}{(u-x)^{2}+y^{2}}}=4\int dx\operatorname {arctang} {\frac {\varphi (x)}{u-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9399f8e581ab406188d9f4f05bd3ab94a4dc0d75)
Si l’on suppose que la figure génératrice de l’anneau est une ellipse,