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faut transporter en sens contraire, à la molécule $dm,$ la force dont ce centre est animé par l’action de ${\rm {L}}$, et l’on a vu, dans le n^o 23 du troisième Livre, que cela revient à retrancher de la fonction précédente celle-ci

${\frac {\rm {L}}{r}}+{\frac {\rm {L}}{r^{2}}}\left[\cos \theta \sin v+\sin \theta \cos v\cos(nt+\varpi -\psi )\right]\,;$

on aura donc la valeur de $\alpha dV'$ dépendante de l’action de ${\rm {L}}$, en différenciant par rapport à $\theta$ et à $\varpi$ la différence de ces deux fonctions, différence qui, par le numéro cité du troisième Livre, peut se développer dans une suite descendante par rapport aux puissances de $r,$ telle qu’en la désignant par

${\frac {\alpha {\rm {Z^{(0)}}}}{r}}+{\frac {\alpha {\rm {Z^{(1)}}}}{r}}+{\frac {\alpha {\rm {Z^{(2)}}}}{r}}+{\frac {\alpha {\rm {Z^{(3)}}}}{r}}+\ldots ,$

${\rm {Z^{(1)}}}$ est une fonction rationnelle et entière de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ du degré $i,$ assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Z}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {Z}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Z}}^{(i)}.$

$\mu$ étant égal à $\cos \theta .$

$\alpha dV'$ se compose encore de l’attraction sur la molécule $dm$ de la couche aqueuse dont, le rayon intérieur étant l’unité, le rayon extérieur est $1+\alpha y,$ et il est facile de voir que, pour la déterminer, il faut diviser chacune des molécules de la couche par sa distance à la molécule $dm$, et différentier la somme de ces quotients relativement à $\theta$ et $\varpi$. Il faut, de plus, transporter en sens contraire, à la molécule, l’action de cette couche sur le centre de gravité de la Terre ; mais il est visihle que, ce centre ne changeant point par l’attraction et par la pression des diverses parties de la Terre, cette action doit être ici négligée,

2. Considérons d’abord le cas dans lequel la Terre n’aurait point de mouvement de rotation, et où l’on aurait par conséquent $n=0$ ; supposons, de plus, la Terre sphérique, et la profondeur $\gamma$ de la mer égale à une constante $l,$ et déterminons les oscillations que doit y exciter