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${\rm {Y^{(0)},Y^{(1)},Y^{(2)},\ldots }}$ étant des fonctions rationnelles et entières de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ telles que l’on a généralement

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Y}}^{(i)}.$

La partie de ${\rm {V'}}$ relative à la couche sphérique fluide dont le rayon intérieur est l’unité, et dont le rayon extérieur est $1+\alpha y,$ sera, par le n^o 14 du troisième Livre, en prenant pour unité de densité la densité de la mer,

$4\pi \left({\rm {Y^{(0)}+{\frac {1}{3}}Y^{(1)}+{\frac {1}{5}}Y^{(2)}+{\frac {1}{7}}Y^{(3)}+\ldots }}\right),$

$\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. Nommons $\rho$ la moyenne densité de la Terre entière ; nous aurons $g={\frac {4}{3}}\pi \rho ,$ et par conséquent $4\pi ={\frac {3g}{\rho }}.$

Il résulte du numéro précédent que la partie de $\alpha V'$ relative à l’action du Soleil et de la Lune, et généralement à l’action d’un nombre quelconque d’astres attirants, peut se développer dans une suite de la forme

${\rm {\alpha U^{(0)}+\alpha U^{(0)}+\alpha U^{(0)}+\alpha U^{(0)}+\ldots ,}}$

${\rm {U^{(i)}}}$ étant une fonction rationnelle et entière de l’ordre $i,$ en $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ qui satisfait à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U}}^{(i)}.$

Cela posé, si l’on substitue pour $y$ et ${\rm {V'}}$ ces valeurs dans l’équation (3), la comparaison des fonctions semblables ${\rm {U}}^{(i)}$ et ${\rm {Y}}^{(i)}$ donnera

${\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial t^{2}}}+{\frac {i(i+1)lg}{(2i+1)\rho }}\left[(2i+1)\rho -3\right]{\rm {Y}}^{(i)}=i(i+1)l{\rm {U}}^{(i)}.$

Supposons, pour abréger,

${\frac {i(i+1)lg}{(2i+1)\rho }}\left[(2i+1)\rho -3\right]=\lambda _{i}^{2}\,;$