étant des fonctions rationnelles et entières de
et
telles que l’on a généralement
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Y}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bccd4151a911e7113175eda9ddba20400c257d)
La partie de
relative à la couche sphérique fluide dont le rayon intérieur est l’unité, et dont le rayon extérieur est
sera, par le no 14 du troisième Livre, en prenant pour unité de densité la densité de la mer,
![{\displaystyle 4\pi \left({\rm {Y^{(0)}+{\frac {1}{3}}Y^{(1)}+{\frac {1}{5}}Y^{(2)}+{\frac {1}{7}}Y^{(3)}+\ldots }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f6c88b422836ae079dadca09ac729527d974ee7)
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. Nommons
la moyenne densité de la Terre entière ; nous aurons
et par conséquent
Il résulte du numéro précédent que la partie de
relative à l’action du Soleil et de la Lune, et généralement à l’action d’un nombre quelconque d’astres attirants, peut se développer dans une suite de la forme
![{\displaystyle {\rm {\alpha U^{(0)}+\alpha U^{(0)}+\alpha U^{(0)}+\alpha U^{(0)}+\ldots ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95609c4ef390871e512fe695e6f8ba2c46f83df)
étant une fonction rationnelle et entière de l’ordre
en
et
qui satisfait à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eec766e2f55272b9f15c24bbcd83fae1e260ab9)
Cela posé, si l’on substitue pour
et
ces valeurs dans l’équation (3), la comparaison des fonctions semblables
et
donnera
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial t^{2}}}+{\frac {i(i+1)lg}{(2i+1)\rho }}\left[(2i+1)\rho -3\right]{\rm {Y}}^{(i)}=i(i+1)l{\rm {U}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da38250c591b31c66f8c1534e1a098de43cdc5a)
Supposons, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {i(i+1)lg}{(2i+1)\rho }}\left[(2i+1)\rho -3\right]=\lambda _{i}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a1829e0d7b0d00bba85eba85eb036035921271)