du no 1 se transforme dans celle-ci
(A)
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l’équation (2) du même numéro donne les deux suivantes
(B)
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L’intégration générale de ces équations présente beaucoup de difficultés ; nous nous bornerons ici à un cas fort étendu, celui dans lequel
est une fonction de
sans
et nous ferons
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&=a\cos(it+s\varpi +\varepsilon ),\\u&=b\cos(it+s\varpi +\varepsilon ),\\v&=c\sin(it+s\varpi +\varepsilon ),\\y-{\frac {{\rm {V}}'}{g}}&=a'\cos(it+s\varpi +\varepsilon ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea88b1ac2bb2b7e5d10cc5680f515332acb46356)
étant des fonctions rationnelles de
et de
et
étant un nombre entier. En substituant ces valeurs dans les équations (A) et (B), nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a={\frac {\partial .\gamma b{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-s\gamma c,\\&i^{2}b+2nic\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}=-g{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}},\\&i^{2}c+{\frac {2nib\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}=-{\frac {gsa'}{1-\mu ^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1238e7652886ad590860d458c4d129cbec9f8ebf)
Ces deux dernières équations donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}b&={\frac {-g{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)+{\frac {2ngs}{i}}\mu a'}{\left(i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}\right){\sqrt {1-\mu ^{2}}}}},\\\\c&={\frac {{\frac {2ng}{i}}{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\mu \left(1-\mu ^{2}\right)-gsa'}{\left(i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}\right)\left(1-\mu ^{2}\right)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f6907ae2e3ce3003395cb4d3e115d4c64f01470)