constante ; nous allons déterminer, dans cette hypothèse, les oscillations de la troisième espèce. Nous supposerons, de plus, que
, et
varient avec assez de lenteur, par rapport aux variations de l’angle
pour que l’on puisse les traiter comme constants. Nous négligerons encore la fraction
qui exprime le rapport de la densité de la mer
à la moyenne densité de la Terre, rapport qui paraît assez petit, par les observations faites sur l’attraction des montagnes. Cela posé, en faisant
![{\displaystyle y=a\cos(2nt+2\varpi -2\psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31687ec4e7f121147ff027e27897133916b5371c)
on aura
![{\displaystyle \alpha a'=\alpha a-{\frac {3{\rm {L}}}{4r^{3}g}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a06e60c5e65d80a57dc7296525c170ee1254eb7)
l’équation (4) du no 3 deviendra donc, en observant que ![{\displaystyle z={\frac {l}{4n^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0733b4e64ca2c3cdc5819d6d223070c99854ed8e)
![{\displaystyle {\frac {4n^{2}}{lg}}\alpha a\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}=-\alpha {\frac {\partial ^{2}a}{\partial \mu ^{2}}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}+\left(6+2\mu ^{2}\right)\alpha a-{\frac {6{\rm {L}}}{r^{3}g}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8008acea14dfeeb3e2d0301fc4c3999c22e691b2)
On peut donner à cette équation une forme plus simple, en y faisant
et en supposant
constant ; on aura ainsi
![{\displaystyle 0=x^{2}\left(1-x^{2}\right)\alpha {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}-x\alpha {\frac {\partial a}{\partial x}}-2\alpha a\left(4-x^{2}-{\frac {2n^{2}}{lg}}x^{4}\right)+{\frac {6{\rm {L}}}{r^{3}g}}x^{2}\cos ^{2}v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a1978752163c7b140a8fd75e8a7f1fa5d365a4)
Pour satisfaire à cette équation, nous ferons
![{\displaystyle \alpha a={\rm {A}}^{(1)}x^{2}+{\rm {A}}^{(2)}x^{4}+{\rm {A}}^{(3)}x^{6}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdc4f1a257d4fc5b415e4985a6c94309e82c1b7)
Cette valeur, substituée dans l’équation différentielle précédente, donnera d’abord, en comparant les coefficients de ![{\displaystyle x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2ec7e8a464049d38873949075113b2722c9f8c)
![{\displaystyle {\rm {A}}^{(1)}={\frac {3{\rm {L}}}{4r^{3}g}}\cos ^{2}v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e82fcf40720386e44ece663d4e13a503074c56)
La comparaison des coefficients de
donnera l’équation identique
; enfin la comparaison des coefficients de
étant égal ou